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【发现问题】 蜂巢的结构非常精美,每个巢室都是由多个正六边形组成（如图$1)$,某数学兴趣小组的同学用若干个形状、大小均相同的正六边形模具,模仿蜂巢结构拼成如图$2$所示的若干个图案,同学们发现:在每个拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化. 【提出问题】 在拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数$y$与第一层正六边形模具的个数$x$之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$AB$的延长线上,$AD$平分$\angle CAE$交$\odot O$于点$D$,过点$A$作$AE\bot CD$,垂足为点$E$. $(1)$判断直线$CE$与$\odot O$的位置关系,并说明理由； $(2)$若$BC=3$,$CD=3\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径以及线段$ED$的长.

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如图,在$\odot O$中,$AB$是$\odot O$的直径,$PA$是$\odot O$的切线,切点是$A$,连接$PO$,过点$B$作$BC$ ∥ $PO$,与$\odot O$交于点$C$,连接$PC$. $(1)$求证:$PC$是$\odot O$的切线； $(2)$若$\odot O$的半径为$3$,$PA=4$,求$BC$的长度.

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如图,已知$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$. $(1)$作一个圆,使圆心$O$在$AC$边上,且与$AB$、$BC$所在直线相切（不写作法,保留作图痕迹）； $(2)$若$AC=3$,$BC=4$,求（1）中所作的$\odot O$的半径.

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如图$1$,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=-\frac{1}{3}x+2$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$l_{2}$:$y=2x$与直线$l_{1}$交于点$C$. $(1)$求线段$AB$的长度. $(2)$如图$2$,点$P$是射线$CA$上的任意一点,过点$P$作$PD$ ∥ $y$轴且与$l_{2}$交于点$D$,连接$OP$,当$PD=5$时,求$\triangle PCO$的面积. $

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眉山是"三苏"故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用$960$元购进的$A$款文创产品和用$780$元购进的$B$款文创产品数量相同.每件$A$款文创产品进价比$B$款文创产品进价多$15$元. $(1)$求$A$,$B$两款文创产品每件的进价各是多少元? $(2)$已知$A$款文创产品每件售价为$100$元,$B$款文创产品每件售价为$80$元,根据市场需求,商店计划再用不超过$7400$元的

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如图，\(\triangle ABC\)内接于\(⊙O\)，\(AB\)是直径，直线\(l\)过点\(C\)，\(AD⊥l\)，交\(⊙O\)于点\(F\)，垂足为\(D\)，\(BE⊥l\)，垂足为\(E\)，且\(\overparen{CF}=\overparen{CB}.\) \((1)\)求证：\(l\)与\(⊙O\)相切； \((2)\)当\(AD=4cm\)，\(BE=1.5cm\)时，\(⊙O\)的半径为 ______\(

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如图，\(\triangle ABC\)为\(⊙O\)的内接三角形，过点\(B\)作\(BD⊥AB\)，交\(⊙O\)于点\(E\)，交\(AC\)的延长线于点\(D\)，在线段\(CD\)上取一点\(F\)，使得\(∠CEF=∠CBD.\) \((1)\)求证：\(EF\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(⊙O\)的半径为\(\sqrt{5}\)，\(CF=1\)，求\(AC\)的长．

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如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，点\(C\)、\(G\)为圆上的两点，当点\(C\)是弧\(BG\)的中点时，\(CD\)垂直直线\(AG\)于点\(G\)，垂足为\(D\)，直线\(DC\)与\(AB\)的延长线相交于点\(P\)，弦\(CE\)平分\(∠ACB\)，交\(AB\)于点\(F\)，连接\(BE.\) \((1)\)求证：\(DC\)与\(⊙O\)相切； \((2)\)求证：\(PC=PF\)； \((3)\)若

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如图,已知函数$y=x+1$的图象与$y$轴交于点$A$,一次函数$y=kx+b$的图象经过点$B\left(0,-1\right)$,与$x$轴以及$y=x+1$的图象分别交于点$C$,$D$,且点$D$的坐标为$\left(1,n\right)$. $(1)$求一次函数$y=kx+b$的解析式； $(2)$求四边形$AOCD$的面积； $(3)$在平面内直线$CD$的右侧是否存在点$P$,使得以点$P$,$C$,$D$为顶点的三角形

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如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E$为$BC$上一点,连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$,$AD=DF$,连接$DE$. $(1)$求证:$AE$平分$\angle BAD$； $(2)$若点$E$为$BC$中点,$\angle B=60^{\circ}$,$AD=5$,求平行四边形$ABCD$的周长.

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如图,$CD$是$ O$的直径,$A$为$DC$的延长线上一点,点$E$在$ O$上,$\angle EOD=81^{\circ}$,$AE$交$ O$于$B$,且$AB=OC$,求$\angle A$的度数.

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如图,$A$、$D$是$\odot O$上的两个点,$BC$是直径,若$\angle D=32^{\circ}$,则$\angle OAC$等于（ ）

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有三张背面完全相同的卡片,正面上分别标有数字$-1$,$0$,$1$,把这三张卡片背面朝上,随机抽取一张记下数字为$a(不放回)$,在剩余的卡片中再随机抽取一张,记下数字为$b$,则$a+b$的和为$0$的概率为______.

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已知二次函数$y=x^{2}+2x-3$.若$y \gt -3$,则自变量$x$的取值范围是______.

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已知直线$y=kx\left(k\neq 0\right)$经过点$\left(12,-5\right)$,将直线向上平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位,若平移后得到的直线与半径为$6$的$\odot O$相交（点$O$为坐标原点）,则$m$的取值范围为______.

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用配方法解方程$x^{2}-6x+5=0$,配方后可得（ ）

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解一元二次方程$x^{2}-6x-4=0$,配方后正确的是（ ）

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方程$x^{2}-25=0$的解为____.

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用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x+2=0$,配方后得到的方程,正确的是（ ）

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