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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$是$BA$延长线上一点,点$D$在$\odot O$上,且$CD=OE$,$CD$的延长线交$\odot O$于点$E$.若$\angle C=25^{\circ}$,则$\angle CEO$度数为______$^{\circ}.$

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抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如图,$AC$,$BD$分别与$\odot O$相切于点$C$,$D$,延长$AC$,$BD$交于点$P$.若$\angle P=120^{\circ}$,$\odot O$的半径为$6cm$,则图中$\widehat {CD}$的长为____$cm.($结果保留$\pi )$

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$、$D$为$\odot O$上的点,且$BC$ ∥ $OD$,过点$D$作$DE\bot AB$于点$E$.若$DE=3$,$\odot O$的半径长为$\sqrt{13}$,求$BC$的长.

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在$\triangle ABC$中,$\angle A=50^{\circ}$,若点$O$为$ABC$的外心,则$\angle BOC$等于（ ）

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AB=8$,点$M$在$\odot O$上,$\angle MAB=20^{\circ}$,$N$是弧$MB$的中点,$P$是直径$AB$上的一动点.若$MN=1$,则$\triangle PMN$周长的最小值为______.

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用配方法解方程$x^{2}-6x+7=0$,配方后的方程是（ ）

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阅读下面材料: 小明在解方程$\left(2x-5\right)^{2}+4\left(2x-5\right)-5=0$时,发现括号内的代数式是完全相同的,于是采用了如下方法:令$t=2x-5$①,则原方程可化为$t^{2}+4t-5=0$,解得$t_{1}=-5$,$t_{2}=1$,分别代入①后算出了$x$的值. 解决以下问题: $(1)$直接写出方程$\left(2x-5\right)^{2}+4\left(2x-5\right)

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甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面$20m$高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升$10s$.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度$y($单位:$m)$与无人机上升的时间$x($单位:$s)$之间的关系如图所示.下列说法正确的是（ ）

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已知一次函数经过$A\left(1,3\right)$、$B\left(2,5\right)$两点.求这个一次函数的解析式.

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如图，\(AB\)是半圆\(O\)的直径，点\(C\)在半圆\(O\)上，点\(D\)为\(\overparen{BC}\)的中点，连接\(AC\)，\(BC\)，\(AD\)，\(AD\)与\(BC\)相交于点\(G\)，过点\(D\)作直线\(DE/\!/BC\)，交\(AC\)的延长线于点\(E.\) \((1)\)求证：\(DE\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(\overparen{AC}=\overparen{B

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如图，在\(⊙O\)中，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，点\(E\)在\(⊙O\)上，\(D\)为\(\overparen{BE}\)的中点，连接\(AE\)，\(BD\)并延长交于点\(C.\)连接\(OD\)，在\(OD\)的延长线上取一点\(F\)，连接\(BF\)，使\(∠CBF=\dfrac{1}{2}∠BAC.\) \((1)\)求证：\(BF\)为\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(AE=4\)，\(OF=\dfr

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如图，\(AC\)是\(⊙O\)的直径，弦\(BD\)交\(AC\)于点\(E\)，点\(F\)为\(BD\)延长线上一点，\(∠DAF=∠B.\) \((1)\)求证：\(AF\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(⊙O\)的半径为\(5\)，\(AD\)是\(\triangle AEF\)的中线，且\(AD=6\)，求\(AE\)的长．

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如图，\(⊙O\)是\(\triangle ABC\)的外接圆，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，点\(E\)为\(⊙O\)上一点，\(EF/\!/AC\)交\(AB\)的延长线于点\(F\)，\(CE\)与\(AB\)交于点\(D\)，连接\(BE\)，若\(∠BCE=\dfrac{1}{2}∠ABC.\) \((1)\)求证：\(EF\)是\(⊙O\)的切线． \((2)\)若\(BF=2\)，\(\sin∠BEC=\dfrac{3

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在实数范围内规定一种运算"$\#$",其规则为$a\#b=a^{2}-b^{2}$,根据这个规则,方程$\left(x-3\right)\#5=0$的解为____.

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用适当的方法解下列方程: $(1)x^{2}-6x-16=0$； $(2)x\left(x-4\right)-4+x=0$.

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如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根是另一个根的$3$倍,那么称这样的方程为"三倍根方程".例如,方程$x^{2}-4x+3=0$的两个根是$1$和$3$,则这个方程就是"三倍根方程". $(1)$下列方程是三倍根方程的是______;(填序号即可） ①$x^{2}-2x-3=0$； ②$x^{2}-3x=0$； ③$x^{2}+8x+12=0$. $(2)$如果关于$x$的方程$x^{2

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如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大$1$,那么称这样的方程为"邻根方程".已知关于$x$的方程$x^{2}-\left(m-1\right)x-m=0(m$是常数）是"邻根方程",则$m$的值为______.

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如图$1$,在平面直角坐标系$xOy$中的四个点$A\left(1,0\right)$,$B\left(0,3\right)$,$C\left(-1,0\right)$,$D\left(0,-3\right)$,恒过定点$\left(2,0\right)$的直线$y=k\left(x-2\right)$,与四边形$ABCD$交于点$M$,$N($点$M$和$N$可以重合).根据学习函数的经验,线段$MN$的长度$l$可以看作$k$的函数

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如图,$\angle MON=90^{\circ}$,矩形$ABCD$的顶点$A$、$B$分别在$OM$、$ON$上,当$B$在边$ON$上运动时,$A$随之在边$OM$上运动,矩形$ABCD$的形状保持不变,其中$AB=2$,$BC=1$,则运动过程中,点$C$到点$O$的最大距离为______.

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现定义运算"★",对于任意实数$a$、$b$,都有$a$★$b=a^{2}-3a+b$,如:$3$★$5=3^{2}-3\times 3+5$,若$x$★$2=6$,则实数$x$的值是______.

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