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如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,且$AC=6$,$BD=8$,动点$P$,$Q$分别从点$B$,$D$同时出发,以每秒$1$个单位长度的速度运动,点$P$沿$B-C-D$运动,到点$D$停止.点$Q$沿$D-O-B$运动,到点$O$停止$1$秒后继续运动,到$B$点停止.连接$AP$,$AQ$,$PQ$.设$\triangle APQ$的面积为$S$,(这里规定:线段是面积为$0$的几何图形）点$P$

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选用适当的方法解下列方程: $(1)2x^{2}-5x-3=0$； $(2)\left(x-2\right)\left(2x-3\right)=2\left(x-2\right)$.

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有四组一元二次方程: ①$x^{2}+7x+8=0$和$8x^{2}+7x+1=0$； ②$x^{2}-x-6=0$和$-6x^{2}-x+1=0$； ③$2x^{2}-5=0$和$-5x^{2}+2=0$； ④$4x^{2}-9x+3=0$和$3x^{2}-9x+4=0$. 这四组方程具有共同特征,我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的"关系方程".请写出一个有两个不相等实数根但没有"关系方程"的一元二次方程:___

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在下列由线段$a$,$b$,$c$的长为三边的三角形中,能构成直角三角形的是（ ）

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解下列方程组：\(\begin{cases}{2x-y=-1}\\ {3x+2y=16}\end{cases}.\)

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在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,若$\cos A=\frac{5}{13}$,则$\sin A$的值为______.

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如图,$\odot O$的半径为$3$,四边形$ACBD$内接于$\odot O$,连接$OB$、$OA$,若$\angle ACB=\angle AOB$,则劣弧$\widehat {AB}$的长为______.

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勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人着迷. $(1)$应用场景$1$—在数轴上画出表示无理数的点.如图$1$,在数轴上找出表示$3$的点$A$,过点$A$作直线$l$垂直于$OA$,在$l$上取点$B$,使$AB=2$,以原点$O$为圆心,$OB$为半径作弧,则弧与数轴的交点$C$表示的数是______； $(2)$应用场景$

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如图,矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,对角线$BD$的垂直平分线$EF$交$AD$于点$E$、交$BC$于点$F$,则线段$EF$的长为____.

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如图,$AB$、$BC$、$CD$、$DA$都是$\odot O$的切线,$AD=2$,$AB+CD=8$,则$BC= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$D$是$AB$边的中点,点$O$在$BC$边上,$\odot O$经过点$C$且与$AB$边相切于点$E$,若$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ADC$. $(1)$求证:$BF$是$\odot O$的切线； $(2)$若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径及$OD$的长.

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如图,$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆,$AC$是$\odot O$的直径,$BD$平分$\angle ABC$. $(1)$若$\angle ACB=25^{\circ}$,求$\angle BDC$的度数； $(2)$若点$E$是弦$BD$上一点,且$AE$平分$\angle CAB$,求证:$DA=DE$.

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一元二次方程$x^{2}-9=0$的解是（ ）

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如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点$A\left(0,4\right)$、$B\left(4,4\right)$、$C\left(6,2\right)$. $(1)$用直尺画出该圆弧所在圆的圆心$M$的位置,$M$点坐标为______； $(2)$求圆$M$半径的长度； $(3)$若点$D$的坐标为$\left(7,0\right)$,请通过计算说明点$D$与圆$M$的位置关系.

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如图,坡角为$\alpha $的斜坡$AB$长$5\sqrt{5}$米,若$\tan \alpha =\frac{1}{2}$,则斜坡的铅直高度$BC$长为（ ）

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$16$世纪中叶,我国发明了一种新式火箭"火龙出水",它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为$x$轴,垂直于地面的直线为$y$轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线$y=ax^{2}+x$和直线$y=-\frac{1}{2}x+b$.其中,当火箭运行的水平距离为$9km$时,自动引发火箭

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如图$1$是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图$2$所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边$AO$与键盘所在面的侧边$BO$长均为$24cm$,点$P$为眼睛所在位置,$D$为$AO$的中点,连接$PD$,当$PD\bot AO$时,称$P$点为"最佳视角点",此时$\angle AOC=120^{\circ}$,作$PC\bot OB$,垂足$C$在$OB$的延长线上,且$BC=12cm$. $(1)$求点$D$到$O

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如图所示,四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形,$\angle BCD=130^{\circ}$,则$\angle BOD$的大小是（ ）

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如图$1$,$AB$为$\odot O$直径,$CB$与$\odot O$相切于点$B$,$D$为$\odot O$上一点,连接$AD$、$OC$,若$AD$ ∥ $OC.$ $(1)$求证:$CD$为$\odot O$的切线； $(2)$如图$2$,过点$A$作$AE\bot AB$交$CD$延长线于点$E$,连接$BD$交$OC$于点$F$,若$AB=3AE=12$,求$BF$的长.

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$,$B$的坐标分别是$\left(2,0\right)$,$\left(3,3\right)$,$\odot M$是$\triangle OAB$的外接圆,则点$M$的坐标为______.

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