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在半径为$1$的圆中,长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆心角是____度.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$、$D$是$\odot O$上两点,连接$AC$、$BC$、$AD$、$OD$,$AB$平分$\angle CAD$,$\angle B=72^{\circ}$,则$\angle BOD$的度数为（ ）

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如图,在菱形$ABCD$中,$\angle B=140^{\circ}$,将菱形$ABCD$绕点$A$逆时针旋转$100^{\circ}$后得到菱形$AB\’{C\’}{D\’}($点$B$、$C$、$D$的对应点分别为点${B\’}$、${C\’}$、${D\’})$,连接$DB\’$,求证:$\triangle ADB\’$是等边三角形.

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设$a$,$b$是一个直角三角形两条直角边的长,且$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+1)=20$,则这个直角三角形的斜边长为____.

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如图,在菱形$ABCD$中,$\angle A=60^{\circ}$,点$E$、$F$分别是线段$AB$、$BC$上的动点,连接$DE$、$DF$,若$\angle EDF=60^{\circ}$,$AB=2$,则图中阴影部分的面积是______.

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$为斜边$BC$的中点,以$AD$为直径作$\odot O$,分别与边$AB$、$AC$交于点$E$、$F$,过点$E$作$EG\bot BC$,垂足为$G$. $(1)$求证:$EG$是$\odot O$的切线； $(2)$已知$\odot O$的半径为$6$,若$AF=8$,求$BE$的长.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$是斜边$AB$上的中线,以$CD$为直径的$\odot O$分别交$AC$、$BC$于点$M$、$N$,过点$N$作$NE\bot AB$,垂足为$E$. $(1)$求证:$NE$与$\odot O$相切； $(2)$若$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$,$AC=6$,则$BN$的长为______.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$D$在边$BC$上. $(1)$求作:点$E$,使四边形$ABDE$是平行四边形；(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹） $(2)$以（1）中▱$ABDE$的边$DE$为直径作$\odot O$交$AC$的延长线于点$F$,若$\widehat {DF}=\widehat {EF}$,求证:$CF=BD$.

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如图,在▱$ABCD$中,$AD=5$,$AB=12$,$\sin A=\frac{4}{5}$.过点$D$作$DE\bot AB$,垂足为$E$,则$\sin \angle BCE=$____.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$,$D$在$\odot O$上,若$\widehat {AD}=\widehat {CD}$,求证:$OD$ ∥ $BC.$

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如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$O$为$AB$的中点,$\odot O$与$AC$相切于点$D$,连结$CO$交$\odot O$于点$E$. $(1)$判断$CB$所在直线与$\odot O$的位置关系,并说明理由. $(2)$若$\odot O$的半径为$2$,求$\widehat {DE}$的长.(结果保留$\pi )$

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已知$m \gt 0$,关于$x$的一元二次方程$\left(x+1\right)\left(x-2\right)-m=0$的解为$x_{1}$,$x_{2}(x_{1} \lt x_{2})$,则下列结论正确的是（ ）

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解方程: $(1)x^{2}-4x-5=0$； $(2)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=12$.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(k+3\right)x+2k+1=0$. $(1)$求证方程有两个不相等的实数根； $(2)$若方程的一个根为$x=4$,求$k$的值,并求出此时方程的另一根.

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已知函数$y=-\frac{1}{2}{(x+1)}^{2}+2$. $(1)$指出函数图象的对称轴______,顶点坐标______. $(2)$写出与$x$轴的交点坐标______,与$y$的交点坐标______.并画出草图. $(3)$当$-2 \lt x \lt 2$时,写出$y$的取值范围______. $(4)$当$y \gt 0$时,写出$x$的取值范围______.

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若将抛物线$y=\left(x-2\right)^{2}+3$向右平移$2$个单位,再向上平移$3$个单位,则所得抛物线的一般式是______.

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一次函数$y=ax+b$的图象如图所示,则二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象大致是（ ）

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在数学课上,老师布置任务:利用尺规"作以线段$AB$为对角线的正方形". 小丽的作法如下: ①分别以点$A$、$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$为半径作弧,两弧交于$E$、$F$两点； ②连接$EF$,与$AB$交于点$O$； ③以点$O$为圆心,$OA$长为半径作弧,与$EF$交于$C$、$D$两点； ④分别连接线段$AC$,$BC$,$BD$,$DA$.所以四边形$ADBC$就是所求作的正方形. 根据小丽的作图过程,

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如图,点$D$为$\triangle ABC$的边$BC$的中点,过点$A$作$AE$ ∥ $BC.$且$AE=\frac{1}{2}BC$,连接$DE$,$CE$. $(1)$求证:$AD=EC$； $(2)$若$AB=AC$,判断四边形$ADCE$的形状,并说明理由； $(3)$若要使四边形$ADCE$为正方形.则$\triangle ABC$应满足什么条件? $($直接写出条件即可,不必证明）

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在平面直角坐标系中,函数$y=ax^{2}-2ax-4a\left(x \gt 0\right)$的图象记为$M_{1}$,函数$y=-ax^{2}-2ax+4a\left(x\leqslant 0\right)$的图象记为$M_{2}$,其中$a$为常数,且$a\neq 0$,图象$M_{1}$,$M_{2}$合起来得到的图象记为$M$. $(1)$若图象$M_{1}$有最低点,且最低点到$x$轴距离为$3$,求$a$的值； $(2)

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