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将二次函数${y}$＝${2(x-2)^{2}}$的图象向左平移${1}$个单位,再向下平移${3}$个单位后所得图象的函数解析式为（ ）

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如图,抛物线$y=x^{2}-2x-3$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,直线$l:y=kx+b$与抛物线交于$A$、$C$两点,其中$C$点的横坐标为$2$. $(1)$求点$C$的坐标和直线$l$的解析式； $(2)$点$P$是$y$轴上的一点,求满足$PB+PC$的值为最小的点$P$坐标； $(3)$点$Q$是直线$l$下方抛物线上一动点,动点$Q$运动到什么位置时

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已知点$(-2$,$y_{1})$,$(-1$,$y_{2})$,$(5$,$y_{3})$都在函数$y=\left(x-3\right)^{2}+1$的图象上,则（ ）

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若二次函数$y=\left(m-1\right)\left(x-1\right)^{2}-1$,在$x \lt 1$时,$y$随$x$的增大而减小,则$m$的取值范围是（ ）

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矩形$ABCD$中,$AB=1$,$O$是$BD$的中点,点$E$在直线$AD$上,且$DE=3$,若$\triangle BOE$与$\triangle DOE$关于直线$OE$对称,则$AD$的长为______.

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下列对二次函数$y=-x^{2}+2x$的图象的描述,正确的是（ ）

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在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$于$D$,若$AD=3$,$BD=1$,则$BC$的值是（ ）

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已知二次函数的图象经过点$A\left(1,2\right)$和$B\left(0,-1\right)$且对称轴为直线$x=2$. $(1)$求这个二次函数的解析式； $(2)$抛物线上点$P\left(2,m\right)$在图象上,求$\triangle PAB$的面积.

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若$y=(m+1)x^{m^2-2m-1}+2x-1$,$y$是$x$的二次函数,则$m=\_\_\_\_\_\_.$

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关于二次函数$y=\left(x+1\right)^{2}-4$,下列结论不正确的是（ ）

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根据条件写出下列函数的解析式: $(1)$已知二次函数的图象经过$\left(0,0\right)$,$\left(1,2\right)$,$\left(-1,-4\right)$三点,求二次函数的解析式； $(2)$已知二次函数的图象的顶点坐标为$\left(2,-1\right)$,且抛物线过$\left(0,3\right)$,求二次函数的解析式.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过$\left(1,0\right)$,$\left(-2,t\right)$两点,其中$t \lt 0$,对称轴为$x=-1$.下列四个结论:①$bc \lt 0$；②$c=t$；③点$A(s$,$y_{1})$、$B(s+1$,$y_{2})$在抛物线上,当$s \lt -1$时,$y_{1} \gt y_{2}$；④已知关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c-m=0\left(m

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抛物线$y_{1}=-x^{2}+b_{1}x+c_{1}$与$x$轴交于点$\left(-2,0\right)$,与$y$轴交于点$\left(0,4\right)$. $(1)$求抛物线$y_{1}$的解析式； $(2)$将抛物线$y_{1}=-x^{2}+b_{1}x+c_{1}$顶点的横坐标加$1$,纵坐标不变,得到抛物线$y_{2}=-x^{2}+b_{2}x+c_{2}$. ①请直接写出$b_{2}= $______,$c_

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如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形$ABC$中,$CA=CB$,$\angle C=90^{\circ}$,过点$B$作射线$BD\bot AB$,垂足为$B$,点$P$在$CB$上. $(1)$【动手操作】 如图②,若点$P$在线段$CB$上,画出射线$PA$,并将射线$PA$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$与$BD$交于点$E$,根据题意在图中画出图形,图中$\angle

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$BC=7$,$M$、$N$分别是边$CD$、$AB$上的点,将四边形$ADMN$沿$MN$翻折至四边形$EFMN$,点$E$落在$BC$边上,且$BE=4$,则$MF$的长为______.

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下面是小东同学解一元二次方程$\left(3x-1\right)^{2}=2\left(3x-1\right)$的过程,请仔细阅读,并完成相应的解答. 解:方程两边同除以$\left(3x-1\right)$,得$3x-1=2$.第一步 移项、合并同类项,得$3x=3$.第二步 系数化为$1$,得$x=1$.第三步 任务: $(1)$①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______. $(2)$用配方

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二次函数$y=ax^{2}$与一次函数$y=ax+a$在同一坐标系中的图象可能为如图中的（ ）

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已知函数$y=ax^{2}+bx-1$的图象经过点$\left(2,3\right)$,$\left(1,2\right)$. $(1)$求这个函数的解析式； $(2)$画出它的大致图象,并写出图象的顶点坐标及对称轴； $(3)$求$y \gt 2$的$x$取值范围.

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已知抛物线$y=-x^{2}+2x+3$. $(1)$求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标； $(2)$在给定的坐标系中画出这条抛物线,设抛物线与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,求$\triangle ABC$的面积.

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在同一平面直角坐标系内,函数$y=ax+b$和$y=ax^{2}+bx+c$的图象可能是（ ）

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