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阏伯台,古称商丘,民间称火星台、火神台,位于河南省商丘市睢阳区商丘古城西南$3$里处,是距今$4500$多年的一处观星台遗址,是中国现存年代最早的观星台,对研容中国天文发展史是不可多得的实物资料,具有极高的科研价值.铜伯台是帝酱之子制值所建造的观星台,阙伯一生不辞劳苦造福于百姓,人们非常敬仰他,把他喻为"火神",所有此台又叫"火神台".阏伯死后,人们就按他的遗愿,将他葬于台下,因其封号为"商",此台又被称为"商丘". 某校数学"综合与实

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已知关于$x$的一元二次方程$\left(a+c\right)x^{2}+2bx+\left(a-c\right)=0$,其中$a$、$b$、$c$分别为$\triangle ABC$三边的长. $(1)$如果$x=-1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由； $(2)$如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

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如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）

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某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为______．

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如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AC的坡比为15：8．乙山BD的坡比为4：3，甲山上A点到河边c的距离AC=340米，乙山上B点到河边D的距离BD=900米，从B处看A处的俯角为26°，则河CD的宽度是（参考值：sin26°=0.4383，tan26°=0.4788，co26°=0.8988）结果精确到0.01）（ ）

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$(1)$解方程:$\frac{1-x}{x-3}+2=\frac{1}{3-x}$； $(2)$解不等式组$\left\{\begin{array}{l}5x+1＞3(x-1),\\ \frac{1}{2}x-7≤1-\frac{3}{2}x.\end{array}\right.$.

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解方程:$\frac{1}{{x+3}}+\frac{2}{{x-3}}=\frac{{12}}{{{x^2}-9}}$.

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如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是\(125\)，小正方形面积是\(25\)，则\(\cos θ\)的值为______.

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魏晋时期，伟大数学家刘徽利用图\(1\)通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图\(2\)中\(S_{2}=4S_{1}\)，则\(\tan α=\)______.

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如图是由四个直角边长分别为\(2\)和\(4\)的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖\((\)假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上\()\)，则针扎在阴影部分的概率是 ______.

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如图,在$Rt\triangle AOB$中,两直角边$OA$、$OB$分别在$x$轴的负半轴和$y$轴的正半轴上,且$\tan \angle BAO=2$,将$\triangle AOB$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$后得到$\triangle {A\’}{O\’}B$,若反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象恰好经过斜边${A\’}B$的中点$C$,则$\triangle AOB$的面积为（ ）

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如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$AC=6$,$BD=4$,动点$P$从点$A$出发,沿着折线$A\rightarrow O\rightarrow B$运动,速度为每秒$1$个单位长度,到达$B$点停止运动,设点$P$的运动时间为$t$秒,$\triangle PAD$的面积为$y$. $(1)$直接写出$y$关于$t$的函数表达式,并注明自变量$t$的取值范围； $(2)$在直角坐标系中画出$y$与$

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如图,点$D$在$\odot O$的直径$AB$的延长线上,$CD$与$\odot O$相切于点$C$.若$\angle D=30^{\circ}$,$\odot O$的半径为$1$,求阴影部分的面积.

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课本再现 如图$1$,$\odot O$的直径$AB$为$10cm$,弦$AC$为$6cm$,$\angle ACB$的平分线交$\odot O$于点$D$. $(1)$分别求$BC$和$AD$的长. 拓展延伸 $(2)$如图$2$,若$BE\bot CD$于点$E$,连接$OE$. ①求证:直线$OE$垂直平分$BC$. ②求$OE$的长.

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如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在$\odot O$在中,若$BC=AD$, 求证:$AC=BD$.

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在同一直角坐标系中，a≠0，函数y=ax与y=ax 2 的图象可能正确的有（ ）

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如图，在平面直角坐标系中，函数y= x和y=- x的图象分别为直线l 1 ，l 2 ，过l 1 上的点A 1 （1， ）作x轴的垂线交l 2 于点A 2 ，过点A 2 作y轴的垂线交l 1 于点A 3 ，过点A 3 作x轴的垂线交l 2 于点A 4 ，…依次进行下去，则点A 2020 的横坐标为______．

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如图,$AB$为$\odot O$的切线,点$A$为切点,$OB$交$\odot O$于点$C$,点$D$在$\odot O$上,连接$AD$,$CD$,$OA$,若$\angle ADC=25^{\circ}$,则$\angle ABO$的度数为（ ）

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筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,彰显了我国古代劳动人民的智慧,如图$1$,点$M$表示筒车的一个盛水桶.如图$2$,当筒车工作时,盛水桶的运行路径是以轴心$O$为圆心,$5$米为半径的圆,且圆心在水面上方,若圆被水面截得的弦$AB$长为$8$米,则筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）

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工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口,假设钢珠的直径是$10mm$,测得钢珠顶端离零件表面的距离为$8mm$,如图所示,则这个槽孔的宽口$AB$的长度为（ ）

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