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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AB=2\sqrt{2}$,点$D$是$BC$边上的动点,连接$AD$,以$CD$为直径的圆与$AD$交于点$E$,连接$BE$,则$BE$的最小值是______.

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已知反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$的图象上有两点$A(x_{1}$,$y_{1})$、$B(x_{2}$,$y_{2})$,当$x_{1} \lt 0 \lt x_{2}$时,有$y_{1} \lt y_{2}$,则$m$的取值范围是____.

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我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅"勾股圆方图",后人称之为"赵爽弦图",它是由$4$个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的直角边长为$a$、$b$,斜边长为$c$,若$b-a=4$,$c=20$,则每个直角三角形的面积为______.

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将抛物线$y=-2x^{2}$向右平移$2$个单位长度,再向下平移$1$个单位长度后的解析式为______$.(最后结果写为顶点式)$

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下列四个点中,在抛物线$y=2x^{2}$上的点是（ ）

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如图为二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象,有下列四个结论:①若$(-3$,$y_{1})$,$(2$,$y_{2})$分别是抛物线上的两个点,则$y_{1} \gt y_{2}$；②$abc \gt 0$；③$a-b\geqslant x\left(ax+b\right)$；④$3b+2c \lt 0$.其中正确的序号是（ ）

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二次函数$y=-\left(x+1\right)^{2}+2$图象的顶点所在的象限是（ ）

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关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx-1=0$,当$m=1$时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数. $(1)$求黄金分割数； $(2)$已知实数$a$,$b$满足:$a^{2}+ma=1$,$b^{2}-2mb=4$,且$b\neq -2a$,求$ab$的值； $(3)$已知两个不相等的实数$p$,$q

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二次函数$y=mx^{2}-2x+1$,当$x＜\frac{1}{3}$时,$y$的值随$x$值的增大而减小,则$m$的取值范围是____.

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如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+bx+c$的图象经过点$\left(-3,0\right)$和$\left(3,3\right)$,与$y$轴交于点$C$. $(1)$求抛物线的解析式； $(2)$将抛物线$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+bx+c$先向左平移$3$个单位长度,再向下平移$2$个单位长度后得到新的抛物线,新抛物线的顶点为$D$,求$\triangle ODC$的面

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如图$1$,$\triangle ABC$为等边三角形,$AB=6$,点$D$从$B$点出发,以每秒$1$个单位长度沿着$BA$运动到$A$点停止,作$DE\bot AB$交直线$AC$于$E$,设$AD+CE=y$,点$D$的运动时间为$t$. $(1)$直接写出$y$与$t$之间的函数表达式,并写出对应$t$的取值范围； $(2)$在图$2$的平面直角坐标系中画出$y$的图象,并写出函数$y$的一条性质.

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如图,$\triangle ABC$中,$CE\bot AC$交$AB$于点$E$,$CD\bot BC$交$AB$于点$D$,若$\angle ACD+\angle B=45^{\circ}$,$BE=2AD$,$CE=2\sqrt{2}$,$CD$的长为______.

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如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$AC$、$BD$相交于点$O$,$E$为$AB$的中点,连接$OE$,过点$E$作$EF\bot BC$于点$F$,过点$O$作$OG\bot BC$于点$G$. $(1)$求证:四边形$EFGO$是矩形； $(2)$若四边形$ABCD$是菱形,$AB=10$,$BD=16$,求$OG$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8cm$,$BC=16cm$,动点$P$从点$A$开始沿$AB$边运动,速度为$2cm/s$,动点$Q$从点$B$开始沿$BC$边运动,速度为$4cm/s$.如果$P$、$Q$两动点同时运动,那么经过______秒时$\triangle QBP$与$\triangle ABC$相似.

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解下列一元二次方程: $(1)x^{2}-6x=-9$； $(2)x^{2}-4x+3=0$.

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如图,工人师傅用活口扳手拧六角螺丝,六角螺丝为正六边形,边长为$2cm$,扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数,旋转四次后,点$A$经过的弧长为（ ）

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如图,在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条"心形线".数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在"心形线"内部的概率,进行了计算机模拟试验,得到如下数据: 试验总次数 $100$ $200$ $300$ $500$ $1500$ $2000$ $3000$ 落在"心形线"内部的次数 $61$ $93$ $165$ $246$ $759$ $996$ $1503$ 落在"心形线"内部的频率 $0.610$ $0.465$ $0.550$

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不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 2x-3＜3\end{array}\right.$的解集为____.

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一商店销售某种商品,平均每天可售出$20$件,每件盈利$40$元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于$25$元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低$1$元,平均每天可多售出$2$件.问当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为$1200$元?

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如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为$12$米的住房墙,另外三边用$25$米长的建筑材料围成的,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一扇$1$米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时,猪舍面积为$80$平方米? $(1)$如图,设猪舍与墙垂直的一边$AD$长为$x$米,则$AB= $______(用含$x$的式子表示）； $(2)$当$x$为多少时,猪舍面积为$80$平方米?

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