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如图,$\angle AOB=30^{\circ}$,$OP=8$,若$\odot P$与射线$OA$只有一个交点,则$\odot P$半径$r$的取值范围是______.

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若直线$y=3x+m$经过第一,三,四象限,则抛物线$y=\left(x-m\right)^{2}+1$的顶点必在（ ）

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已知当$x=-\frac{3}{2}$和$x=2$时,二次函数$y=ax^{2}+bx+a\left(a \gt 0\right)$的值相等且大于零,若$M(-\frac{1}{2},y_1)$,$N(-\frac{1}{4},y_2)$,$P(\frac{1}{2}$,$y_{3})$三点都在此函数的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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方程$x^{2}=4x$的解是（ ）

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如果一个正比例函数的图象与反比例函数$y=-\frac{5}{x}$的图象交于$A(x_{1}$,$y_{1})$、$B(x_{2}$,$y_{2})$两点,那么$(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})$的值为______.

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对于实数$a$、$b$,定义运算"$*$":$a*b=\left\{\begin{array}{c}{a}^{2}-ab(a≥b)\\ ab-{b}^{2}(a＜b)\end{array}\right.$,则$4*2=\_\_\_\_\_\_.$

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一元二次方程$x^{2}-6x-1=0$配方后可变形为（ ）

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以下方程中,一定是关于$x$的一元二次方程的是（ ）

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《代数学》中记载了求方程$x^{2}+8x=33$的正数解的几何方法:如图①,先构造一个面积为$x^{2}$的正方形,再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为$2x$的矩形,得到大正方形的面积为$33+4\times 2\times 2=49$,则该方程的正数解为$7-2-2=3$.小明尝试用此方法解关于$x$的方程$x^{2}+10x+c=0$时,构造出如图②所示的正方形.已知图②中阴影部分的面积和为$39$,则$c= $_____

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如图，在等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，以\(AB\)为直径作\(⊙O\)，交\(BC\)于\(E\)，过点\(B\)作\(∠CBD=\dfrac{1}{2}∠A\)，过点\(C\)作\(CD⊥BD\)于\(D.\) \((1)\)求证：\(BD\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(CD=2\)，\(BC=2\sqrt{3}\)，求\(⊙O\)的直径.

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如图，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，\(C\)为\(BA\)延长线上的一点，\(D\)为\(⊙O\)上一点，\(OF⊥AD\)于点\(E\)，交\(CD\)于点\(F\)，且\(∠ADC=∠AOF.\) \((1)\)求证：\(CD\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(\sin C=\dfrac{1}{3}\)，\(BD=8\)，求\(⊙O\)的半径．

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小晶想在一块形状为直角三角形\((∠C=90°)\)的铁皮上截出一个半圆形铁皮，现要使半圆的圆心在线段\(AC\)上，使这个半圆与\(AB\)，\(BC\)都相切．下面是小品设计的尺规作图的过程． 已知：如图，\(\triangle ABC\)，\(∠C=90°.\) 求作：以线段\(AC\)上点\(O\)为圆心的半圆弧，使它与\(AB\)，\(BC\)都相切． 作法：①作\(∠ABC\)的平分线与\(AC\)相交于\(O\)点； ②以

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如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(C\)为\(⊙O\)上一点，连接\(CB\)，\(∠CAB\)的角平分线交\(⊙O\)于点\(T\)，过\(T\)作\(AC\)的垂线，交\(AC\)的延长线于点\(D.\) \((1)\)求证：\(DT\)与\(⊙O\)相切； \((2)\)若\(CD=1\)，\(TD=\sqrt{3}\)，求\(⊙O\)的半径．

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在平面直角坐标系$xOy$中,线段$AB=4$,点$M$,$N$在线段$AB$上,且$MN=2$,$P$为$MN$的中点,如果任取一点$Q$,将点$Q$绕点$P$顺时针旋转$180^{\circ}$得到点${Q\’}$,则称点${Q\’}$为点$Q$关于线段$AB$的"旋平点". $(1)$如图$1$,已知$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$,$Q\left(1,2\right)$,如果${Q

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在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=m\left(x-3\right)^{2}+k$与$x$轴交于$\left(a,0\right)$,$\left(b,0\right)$两点,其中$a \lt b$.将此抛物线向上平移,与$x$轴交于$\left(c,0\right)$,$\left(d,0\right)$两点,其中$c \lt d$,下面结论正确的是（ ）

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如图,$\odot O$的弦$AB$垂直于$AC$,$AB=6cm$,$AC=4cm$,则$\odot O$的半径等于______$cm.$

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解下列一元二次方程: $(1)x^{2}-2x-4=0(请用配方法)$； $(2)3\left(x+1\right)^{2}=2\left(x+1\right)$.

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用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x+1=0$,配方正确的是（ ）

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已知二次函数$y=ax^{2}-2x-2(a$为常数,$a\neq 0)$,点$P\left(m,n\right)$是该函数图象上一点.当$0\leqslant m\leqslant 2$时,$n\leqslant -2$,则$a$的取值范围是______.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$OD$交$AC$于点$E$,$\widehat {AD}=\widehat {CD}$. $(1)$求证:$OD//BC$； $(2)$若$AC=8$,$DE=2$,求$BC$的长.

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