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已知函数$y=y_{1}-y_{2}$,$y_{1}$与$x$成反比例,$y_{2}$与$x$成正比例,且当$x=-1$时,$y=-4$；当$x=\frac{1}{2}$时,$y=5$. $(1)$求$y$与$x$之间的函数解析式； $(2)$当$x=4$时,求$y$的值.

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三角形的外心是（ ）

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在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$CA=CB$,点$D$是直线$BC$上一点,且$CD=\frac{1}{2}BC$,连接$AD$,过点$C$作直线$CE\bot AD$于$H$,交直线$AB$于点$E$,则$\tan \angle AEC$的值为______.

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附加题 如图,$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$CA=CB$,点$D$为$AB$上一动点（不与$A$,$B$重合),连接$CD$,将$CD$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$CE,EF$ ∥ $AC$,$AF\bot EF$,连接$AE$. $(1)$求$\frac{BD}{AF}$的值； $(2)$若$\triangle CDE$的面积为$5$,$AC=3\sqrt{2}$

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用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 已知:线段$a$和$\angle \alpha $.求作:菱形$ABCD$,使$\angle A=\angle \alpha $,$AC=a$.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=CB=2$,将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ADE$. $(1)$线段$DE$的长是______$,\angle EAC$的度数是______$^{\circ}.$ $(2)$连接$CD$,求证:四边形$ACDE$是平行四边形.

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如图,正三角形$ABC$的边长为$1$,动点$D$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$移动,过点$D$作$AB$边的垂线,交$AB$于$G$,连接$AD$. $(1)$随着点$D$的移动,随之而变化的量有______$(至少写三个)$； $(2)$请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系,并利用函数的有关知识分析变化的规律.

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课本再现:如图$1$,四边形$ABCD$是菱形,$\angle DAB=60^{\circ}$,$BD=6$. $(1)$求$AB$,$AC$的长. 应用拓展: $(2)$如图$2$,$E$为$AB$上一动点,连接$DE$,将$DE$绕点$D$逆时针旋转$120^{\circ}$,得到$DF$,连接$EF$. ①求出点$D$到$EF$距离的最小值； ②如图$3$,连接$OF$,$CF$,若$\triangle OCF$的面积为$6\sq

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如图所示摆放的$5$个正方形,面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,$S_{5}$,其中$S_{1}=1$,$S_{2}=2$,$S_{3}=3$,则$S_{4}+S_{5}=\left(\ \ \right)$

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如图，\(⊙A\)，\(⊙B\)，\(⊙C\)，\(⊙D\)，\(⊙E\)两两不相交，且半径都是\(1\)，则图中阴影部分的面积是 ______.

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如图，两个等圆\(⊙O_{1}\)和\(⊙O_{2}\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(⊙O_{1}\)经过\(⊙O_{2}\)的圆心，则\(∠O_{1}AB\)的度数为\((\quad)\)

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实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆\(⊙O_{1}\)与\(⊙O_{2}\)的半径为\(3\)米，且\(⊙O_{1}\)经过\(⊙O_{2}\)的圆心\(O_{2}.\)已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为\((\quad)\)

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如图，在\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，\(∠C=90°\)，\(AC=4\)，\(BC=7\)，点\(D\)在边\(BC\)上，\(CD=3\)，\(⊙A\)的半径长为\(3\)，\(⊙D\)与\(⊙A\)相交，且点\(B\)在\(⊙D\)外，那么\(⊙D\)的半径长\(r\)可能是\((\quad)\)

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如图，在边长为\(1\)的正方形\(ABCD\)中，点\(O\)在对角线\(BD\)上，且\(⊙O\)与边\(AD\)、\(CD\)相切．点\(P\)是\(⊙O\)与线段\(OB\)的交点，如果\(⊙P\)是既与\(⊙O\)内切，又与正方形\(ABCD\)的两条边相切，那么关于\(⊙O\)的半径\(r\)的方程是\((\quad)\)

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\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，已知\(∠C=90°\)，\(BC=3\)，\(AC=4\)，以点\(A\)、\(B\)、\(C\)为圆心的圆分别记作圆\(A\)、圆\(B\)、圆\(C\)，这三个圆的半径长都是\(2\)，那么下列结论中，正确的是\((\quad)\)

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如图:已知$ O_{1}$和$ O_{2}$相交于$A$、$B$两点,过$A$的直线交两圆于$C$、$D$两点,过$B $的直线交两圆于$E$、$F$两点,$CD$与$EF$交于点$G$,连接$DF$、$CE.G$为$CD$的中点.求证:$CE=DF$.

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如图,正方形$ABCD$的边长为$2a$,$E$为$BC$边的中点,$\widehat {AE}$、$\widehat {DE}$的圆心分别在边$AB$、$CD$上,这两段圆弧在正方形内交于点$F$,则$E$、$F$间的距离为______.

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如图,在菱形$ABCD$中,$AB=2cm$,$\angle D=60^{\circ}$,点$P$,$Q$同时从点$A$出发,点$P$以$1cm/s$的速度沿$A-C-D$的方向运动,点$Q$以$2cm/s$的速度沿$A-B-C-D$的方向运动,当其中一点到达$D$点时,两点停止运动.设运动时间为$x\left(s\right)$,$\triangle APQ$的面积为$y(cm^{2})$,则下列图象中能大致反映$y$与$x$之间函数

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将抛物线$y=3x^{2}+2$向左平移$2$个单位长度,再向下平移$3$个单位长度,则得到的抛物线的解析式为（ ）

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把抛物线$y=2x^{2}$先向左平移$3$个单位,再向上平移$4$个单位,所得抛物线的函数表达式为（ ）

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