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如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过坐标原点,并与$x$轴交于点$A\left(2,0\right)$. $(1)$求抛物线的解析式； $(2)$设抛物线的顶点为$B$,求$\triangle OAB$的面积$S$.

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定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点,则称该点为这个函数图象的"琦点".例如,点$\left(1,-1\right)$是函数$y=x-2$的图象的"琦点". $(1)$分别判断函数$y=-x+4$,$y=x^{2}-2x$的图象上是否存在"琦点"?如果存在,求出"琦点"的坐标； $(2)$若抛物线$y=ax^{2}+2ax+b\left(a \gt 0\right)$有两个"琦点"为点$A\left(1,m\right)$

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将抛物线$C:y=\left(x-1\right)^{2}-2$向左平移$2$个单位长度,得到的新的抛物线${C\’}$的顶点所在的象限是（ ）

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在$-4$,$-2$,$1$,$2$四个数中,随机取一个数作为函数$y=ax^{2}$中$a$的值,使该二次函数图象开口向上的概率为______.

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如果三角形两边的长分别是一元二次方程$x^{2}-9x+14=0$的两根,则第三边的长能否是$10$,答______$(填"能"或"不能")$.

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综合与实践 探究主题 直角三角板与圆 探究背景 学习了《圆周角》中的推论:"直径所对的圆周角等于$90^{\circ}$"后,全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图$1)$,具体研究如图$1$. 探究任务$1$ 找到画直径的简单方法:把直角顶点放在圆上,连接两直角边与圆的两个交点,连两交点的连线是直径.请你说出其中原理:______. 探究任务$2$ 用电脑作图工具,对直

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如图，二次函数\(y=a(x+1)^{2}+k\)的图象与\(x\)轴交于\(A(-3,0)\)，\(B\)两点，下列说法错误的是\((\quad)\)

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在同一平面直角坐标系中，函数\(y=ax^{2}+bx\)与\(y=bx+a\)的图象可能是\((\quad)\)

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关于二次函数\(y=(x+1)^{2}-2\)的图象，下列说法正确的是\((\quad)\)

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已知二次函数\(y=x^{2}-4x+3.\) \((1)\)用配方法将\(y=x^{2}-4x+3\)化成\(y=a(x-h)^{2}+k\)的形式； \((2)\)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； \(x\) … ____ ____ ____ ____ ____ … \(y\) … ____ ____ ____ ____ ____ …

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已知二次函数的图象以\(A(-1,4)\)为顶点，且过点\(B(2,-5).\) \((1)\)求该函数的表达式并在如图的坐标系中画出图象． \((2) \)结合图象，解答下列问题： ①当\(0\leqslant x\leqslant 3\)时，求\(y\)的最大值和最小值． ②当\(-2\leqslant x\leqslant 3\)时，求\(y\)的最大值和最小值．

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如图，在二次函数\(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息： ①\({{b}^{2}}-4ac>0\)；②\(abc 0\)；④关于\(x\)的一元二次方程\(a{{x}^{2}}+bx+c=3\)没有实数根，正确的个数为 \((\quad)\)

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当\(1\leqslant x\leqslant 4\)时，直线\(y=m\)与抛物线\(y=(x-2)^{2}-3\)在自变量\(x\)取值范围内的图象有两个交点，则\(m\)的取值范围是__________.

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=8$,$BC=6$,$D$是$AB$的中点,$CD$的长是（ ）

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如图,在矩形$ABCD$中,$AD=4cm$,$AB=3cm$,动点$P$以$1cm/s$的速度沿着折线$AB$,$BC$运动到点$C$时停止.已知$\triangle PA\’D$与$\triangle PAD$关于直线$PD$对称,连接$AA\’$.设运动时间为$t s$. $(1)$当点${A\’}$落在对角线$BD$上时,$t= $______； $(2)$当点$P$在$BC$上运动时,点$A$,$P$,${A\’}$能否在同一

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如图,已知二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象经过点$A\left(3,1\right)$,点$B\left(0,4\right)$. $(1)$求该二次函数的表达式及顶点坐标； $(2)$点$C\left(m,n\right)$在该二次函数图象上. ①当$m=-1$时,求$n$的值； ②当$m\leqslant x\leqslant 3$时,$n$最大值为$5$,最小值为$1$,请根据图象直接写出$m$的取值范围.

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已知,如图抛物线$y=x^{2}+bx+c\left(a \gt 0\right)$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于$A$,$B$两点,点$A$在点$B$左侧.点$B$的坐标为$\left(1,0\right)$,$OC=3OB$. $(1)$求抛物线的解析式. $(2)$点$M$是抛物线对称轴$l$上的一个动点,当$MB+MC$的值最小时,求点$M$的坐标. $(3)$若点$D$是线段$AC$下方抛物线上的动点,求四边形$ABC

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如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+3\left(a\neq 0\right)$的对称轴为直线$x=1$,如果关于$x$的方程$ax^{2}+bx-8=0\left(a\neq 0\right)$的一个根为$4$,那么该方程的另一个根为（ ）

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若函数$y=\left(m-1\right)x^{2}-6x+\frac{3}{2}m$的图象与$x$轴有且只有一个交点,则$m$的值为（ ）

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如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,$E$为$AB$的中点,连接$DE$,将$\triangle DAE$绕点$D$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DCF$,连接$EF$,则$EF$的长为______.​

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