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综合与探究. 如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴交于点$C$,连接$BC$. $(1)$求$A$,$B$,$C$三点的坐标； $(2)$若点$P$是$x$轴上一点,当$\triangle BCP$为等腰三角形时,求点$P$的坐标； $(3)$点$Q$是二次函数图象上的一个动点,请问

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,在$AC$上取点$D$,使$\angle CBD=\angle BAC$,延长$BC$至点$E$,使得$DE=DB$.若$\frac{BE}{BC}=k$,则$\frac{AD}{AB}$等于（ ）

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如图,将$\triangle ABC$纸片按如图所示的方式折叠,使点$B$落在边$AC$上,记为点${B\’}$,折痕为$EF$,已知$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,若以$\triangle {B\’}FC$为直角三角形,那么$CF$的长度是______.

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如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,过点$A$作$AD\bot BC$于点$D$,点$M$为线段$AD$上一点（不与$A$,$D$重合）,在线段$BD$上取点$N$,使$DM=DN$,连接$AN$,$CM$. $(1)$观察猜想 线段$AN$与$CM$的数量关系是______,$AN$与$CM$的位置关系是______. $(2)$类比探究 将$\triangl

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（2006•安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．

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下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=4$,$BC=3$,点$E$为此三角形的重心,连接$BE$并延长交$AC$于点$D$,过点$E$作$EF\bot AB$于点$F$,则$EF$的长为（ ）

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如图,正方形$ABCD$中,$AB=9$,$E$是$BC$上一点,过$E$作$EF\bot AE$交$CD$于点$F$,连接$AF$. $(1)$证明:$\triangle ABE$ ∽ $\triangle ECF$； $(2)$当$BE=5$时,求$CF$的长.

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如图,点$E$,点$F$分别在菱形$ABCD$的边$AB$,$AD$上,且$AE=DF$,$BF$交$DE$于点$G$,延长$BF$交$CD$的延长线于点$H$,若$\frac{AF}{DF}=3$,则$\frac{HG}{BG}$的值为______.

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如果$\triangle ABC$的三边之比是$3:5:7$,与它相似的$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的最短边为$6$,那么$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的其余两边长的和是（ ）

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如图,抛物线经过$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$,$C\left(0,-3\right)$三点,点$P$在第二象限的抛物线上,$S_{\triangle POB}=S_{\triangle PCO}$,求$P$点的坐标.

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如图,$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$的中点,连接$DE$,则$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\_\_\_\_\_\_.$

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（2015春•永兴县校级期中）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．

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如图,在$\triangle ABC$中,$CD$是边$AB$上的高,且$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$,求$\angle ACB$的大小.

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如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\angle DAE$是四边形$ABCD$的一个外角,且$AD$平分$\angle CAE$. $(1)$求证:$DB=DC$； $(2)$若$\angle EAD=60^{\circ}$,$BC=2\sqrt{3}$,求$\widehat {BC}$的长度.

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如图,在梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$,$BC=2AD$,点$E$是$CD$的中点,$AC$与$BE$交于点$F$,那么$\triangle ABF$和$\triangle CEF$的面积比是____.

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如图,将$\triangle ABC$绕着点$A$顺时针旋转得到$\triangle ADE($点$B$,$C$的对应点分别是点$D,E)$,连接$CE$,点$C$,$A$,$D$在一条直线上.已知$\angle BAC=30^{\circ}$,求$\angle AEC$的度数.

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已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$、$E$分别是边$AC$、$AB$的中点,$DF\bot AC$,$DF$与$CE$相交于点$F$,$AF$的延长线与$BD$相交于点$G$. $(1)$求证:$\angle ABD=\angle ACE$； $(2)$求证:$CD^{2}=DG\cdot BD$.

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【问题提出】（1）如图$1$,在直线$AB$上找一点$P$,使得点$P$到$C$,$D$的距离之和最小； 【问题探究】（2）如图$2$,已知点$D$是$\triangle ABC$边$BC$上一点,$AB=4$,$BC=8$,$AC=CD=6$.求$AD$的长； 【问题解决】（3）如图$3$,在一块边长为$40$米的正方形$ABCD$的花园中,点$P$是内部一点,为了有好的欣赏效果,设计者在$PA$,$PD$,$PC$之间修三条小路（宽

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如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$,$D$为$\odot O$上的两点,若$\angle ABD=54^{\circ}$,则$\angle C$的度数为____.

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