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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$是对角线$BD$上一点,连接$EA$,将线段$EA$绕点$E$逆时针旋转,使点$A$落在射线$CB$上的点$F$处,连接$EC$. 【问题引入】 $(1)$请你在图$1$或图$2$中证明$EF=EC(选择一种情况即可)$； 【探索发现】 $(2)$在（1）中你选择的图形上继续探索:延长$FE$交直线$CD$于点$M$.将图形补充完整,猜想线段$DM$和线段$BF$的数量关系,并说明理由； 【拓展应用

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抛物线\(y=ax^{2}+bx\)和直线\(y=ax+b\)在同一坐标系内的图象可能是\((\quad).\)

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已知一次函数\(y=\dfrac{b}{a}x+c\)的图象如图所示，则二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)在平面直角坐标系中的图象可能是\((\quad).\)

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抛物线\(y=ax^{2}\)经过点\((3.-1).\) \((1)\)求这个二次函数的表达式； \((2)\)画出该二次函数的图象； \((3)\)当\(x\)为何值时．\(y\)值随着\(x\)值增大而增大？

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已知抛物线\(y=ax^{2}\)经过点\((2,-8).\) \((1)\)画出\(y=ax^{2}\)的图象； \((2)\)将上述抛物线向下平移\(3\)个单位，画出平移后的抛物线并求所得抛物线的函数表达式； \((3)\)若点\(A\)为抛物线\(y=ax^{2}\)上一点，直线\(AB\)垂直于\(x\)轴，线段\(AB=5\)，沿\(y\)轴平移抛物线\(y=ax^{2}\)使之过点\(B\)，求平移后所得抛物线的函数表达式

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已知二次函数\(y=x^{2}+1.\) \((1)\)画出函数\(y=x^{2}+1\)的图象； \((2)\)将抛物线\(y=x^{2}+1\)以\(x\)轴为对称轴进行翻折，画出该抛物线； \((3)\)求翻折后得到的抛物线的函数表达式．

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在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它们的相互位置关系． \((1)y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)； \((2)y=\dfrac{1}{2}{{(x+1)}^{2}}\)； \((3)y=\dfrac{1}{2}{{(x-1)}^{2}}.\)

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用配方法将下列函数化成\(y=a(x+h)^{2}+k\)的形式，并指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，画出函数图象． \((1)y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+3\)； \((2)y=(1-x)(1+2x).\)

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$为$AB$边上的高,求证: $(1)CD^{2}=AD\cdot BD$； $(2)AC^{2}=AD\cdot AB$.

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如图,在$\triangle ABC$中,过边$AC$的中点$E$作直线$DE\bot AC$交$BC$于点$D$.若$AB=4$,$\angle B=\angle ADB$,则$DC$的长是______.

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已知二次函数$y=x^{2}-2mx+5$,当$x \gt -1$时,$y$随$x$的增大而增大,则实数$m$的取值范围是（ ）

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如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+3\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于$A\left(-2,0\right)$,$B\left(4,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,点$P$是抛物线在第二象限内的一个动点,连接$PC$,$PB$,设点$P$的横坐标为$m.\left(1\right)$求抛物线的函数表达式； $(2)$请用含$m$的代数式表示$\triangle PBC$的面积； $(3)$当$\

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如图,已知$AB$ ∥ $CD$,$AB=CD$,$BF=CE$.求证:$AF=DE$.

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在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,直线$y=-x+4$交$x$轴的正半轴于点$A$,交$y$轴的正半轴于点$B$. $(1)$求$\angle OAB$的度数； $(2)$如图$1$,点$C$在$OA$上,点$D$在$OB$的延长线上,且$AC=BD$,连接$CD$交$AB$于点$E$,求证:$CE=DE$； $(3)$如图$2$,在（2）的条件下,点$F$在$y$轴的负半轴上,$OF=BD$,点$G$在$BA$的延长线上,连接$

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二次函数\(y=ax^{2}+x+a^{2}-1(a≠0)\)的图象可能是\((\quad).\)

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如图，已知抛物线 \(y=\:x^{2}+\:bx+\:c\)经过点\((0,-3)\)，请你确定一个 \(b\)的值，使该抛物线与 \(x\)轴的一个交点在\((1,0)\)和\((3,0)\)之间，你所确定的 \(b\)的值是__________.

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已知$PA$、$PB$分别切$\odot O$于$A$、$B$,$E$为劣弧$AB$上一点,过$E$点的切线交$PA$于$C$、交$PB$于$D$. $(1)$若$PA=6$,求$\triangle PCD$的周长. $(2)$若$\angle P=50^{\circ}$求$\angle DOC$.

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抛物线$y=\left(x-2\right)^{2}+1$的顶点坐标是（ ）

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抛物线$y=-3\left(x-4\right)^{2}$与抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$的相同点是（ ）

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对于二次函数$y=3\left(x-1\right)^{2}+2$的性质,下列描述正确的是（ ）

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