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将抛物线$y=2x^{2}-1$的图象先向右平移$3$个单位,再向上平移$4$个单位,得到的抛物线的解析式是（ ）

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已知二次函数$y=x^{2}-bx+1$,当$x \lt 1$时,$y$随$x$的增大而减小,则实数$b$的取值范围为（ ）

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如图,已知点$P\left(4,m\right)$在抛物线$y=x^{2}-2x-3$上,当$y \gt m$时,$x$的取值范围是____.

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中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.学习了勾股定理后,小明也绘制了一幅"赵爽弦图",如图①所示,已知他绘制的大正方形的面积是$5$,且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形$ABCD$. $(1)$图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为$a$,较短直角边为$b$,则$\frac{a}{b}=\_\_\_\_\_\_.(直接填数字)$ $(2)$图②中大长方形$A

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桥拱截面$OBA$可以看作抛物线的一部分（如图）,在某一时刻,桥拱内的水面宽约$20$米,桥拱顶点$B$到水面的距离为$4$米.模型建立:以该时刻水面为$x$轴,桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系,求在距离水面$2$米处桥拱宽度为______米. ​

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已知$m$、$n$分别是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=a$与$ax^{2}+bx+c=b$的一个根,且$m=n+1$. $(1)$当$m=2$,$a=-1$时,求$b$与$c$的值； $(2)$用只含字母$a$、$n$的代数式表示$b$； $(3)$当$a \lt 0$时,函数$y=ax^{2}+bx+c$满足$b^{2}-4ca=a$,$b+c\geqslant 2a$,$n\leqslant \frac{1}{2

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以$O$为半径的两个同心圆中,大圆的弦$AB$与$CD$相等,如果$AB$与小圆相切 $(1)$求证:$CD$与小圆也相切； $(2)$如果$AB=8cm$,求这两个圆所形成的圆环面积.

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如图,在$\triangle ABC$纸片中,$\angle C=90^{\circ}$,$BC=5$,$AC=7$,将该纸片沿虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

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如图,$CA\bot AD$,$ED\bot AD$,点$B$是线段$AD$上的一点,且$CB\bot BE$,求证:$\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEB.$

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若$y=\left(a-1\right){x}^{3{a}^{2}-1}$是关于$x$的二次函数,则$a=$____.

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二次函数$y=x^{2}-6$的顶点坐标为______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a$,$b$,$c$是常数,$a\neq 0)$的$y$与$x$的部分对应值如下表: $x$ $-5$ $-4$ $-2$ $0$ $2$ $y$ $6$ $0$ $-6$ $-4$ $6$ 下列结论: ①$a \gt 0$； ②当$x \lt -2$时,$y$的值随$x$的增大而减小； ③方程$ax^{2}+bx+c=-5$有两个不相等的实数根. ④当$x=-2$时,函数有最小值$-6$. 其

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一次函数$y=cx+b$与二次函数$y=ax^{2}+bx+c$在同一坐标系内的图象可能为（ ）

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx$经过点$A\left(-3,-3\right)$,且该抛物线的对称轴经过点$A$,则该抛物线的解析式为（ ）

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如图,正方形$ABCD$和正方形$EFGO$的边长都是$1$,正方形$EFGO$绕点$O$旋转时,两个正方形重叠部分的面积是:______.

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数学中的轴对称就像镜子一样,可以展现出图形对称的美,初中常见的轴对称图形有:等腰三角形、菱形、圆等. 如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$. $(1)$尺规作图:作$\triangle ABC$关于直线$AC$对称的$\triangle ADC(保留作图痕迹,不写作法)$； $(2)$连接$BD$,交$AC$于点$O$,若$BD=2$,四边形$ABCD$周长为$4\sqrt{5}$,求四边形$ABCD$的面积.

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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$是$CD$边上一点,连接$AE$与对角线$BD$交于点$P$,过点$P$作$PF\bot AE$交$BC$于点$F$,连接$AF$交$BD$于点$G$,下列四个结论:①$AP=PF$；②$DE+BF=EF$；③$PB-PD=\sqrt{2}BF$；④$S_{\triangle APG}=\frac{1}{2}{S}_{△AEF}$.其中正确结论个数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE$为______时,$\triangle ABC$与以点$A$、$D$、$E$为顶点的三角形相似.

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$、$C\left(0,3\right)$三点,直线$l$是抛物线的对称轴. $(1)$求抛物线的函数关系式； $(2)$设点$P$是直线$l$上的一个动点,当$\triangle PAC$的周长最小时,求点$P$的坐标； $(3)$在直线$l$上是否存在点$M$,使$\triangle MAC$为等腰三角形?若存在

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如图,若抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴的一个交点坐标为$\left(-1,0\right)$,则抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为（ ）

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