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$(1)$如图①,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,过$AB$上一点$D$作$DE$ ∥ $BC$交$AC$于点$E$,则$DB \_\_\_\_\_\_EC.($填"$ \gt $""$ \lt $"或"$=")$ $(2)$发现:图②中的$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}\right)$到图②位置

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把两个全等的等腰直角三角形透明纸片$ABC$、$FGH$如图$1$放置（点$C$与点$H$重合),若将$\triangle FGH$绕点$C$在平面内旋转,$HG$、$HF$分别交边$AB$于点$E$、$D($点$D$、$E$均不与点$A$、$B$重合).设$AE=x$,$BD=y$,在旋转过程中,$y$与$x$的函数关系图象如图$2$所示,则下列结论中正确的是（ ）

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$6x=3x-6$的解是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=45^{\circ}$,$AD\bot BC$于点$D$,$BE\bot AC$于点$E$,$AD$与$BE$交于点$F$,连接$CF$,$DE$,下列结论:①$DF=CD$；②$\angle BED=45^{\circ}$；③$BE=AE+2DC$；④若$\angle ABF=30^{\circ}$,则$BF+CF=AB$.其中正确结论的序号是（ ）

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抛物线$y=ax^{2}-8ax+c$与$x$轴的一个交点的坐标为$\left(2,0\right)$,则与$x$轴的另一个交点坐标是______.

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若二次函数$y=ax^{2}-3x+a^{2}-1$的图象开口向下且经过原点,则$a$的值是______.

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已知二次函数的图象经过点$\left(0,1\right)$,且顶点坐标为$\left(2,5\right)$,则此二次函数的解析式为______.

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若$y=(m+2){x}^{{m}^{2}-2}+4x$是关于$x$的二次函数,求$m$的值.

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如图:已知点$A$的坐标为$(-2\sqrt{3},2)$,菱形$ABCD$的对角线交于坐标原点$O$,则$C$点的坐标是（ ）

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已知二次函数$y=-2x^{2}-12x-17$,下列说法:①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线$x=-3$；③其图象顶点坐标为$\left(3,-1\right)$；④当$x \lt -3$时,$y$随$x$的增大而增大.其中说法正确的有（ ）

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如图,在矩形$ABCD$中,$E$,$F$分别是边$AB$,$AD$上的动点,$P$是线段$EF$的中点,$PG\bot BC$,$PH\bot CD$,$G$,$H$为垂足,连接$GH$.若$AB=8$,$AD=6$,$EF=5$,则$GH$的最小值是______.

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下列关于抛物线$y=x^{2}+bx-2$. ①抛物线的开口方向向下； ②抛物线与$y$轴交点的坐标为$\left(0,-2\right)$； ③当$b \gt 0$时,抛物线的对称轴在$y$轴右侧； ④对于任意的实数$b$,抛物线与$x$轴总有两个公共点. 其中正确的说法是____.(填写正确的序号）

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请写出一个开口向下,并且与$y$轴交于点$\left(0,1\right)$的抛物线的表达式______.

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【课本再现】 $(1)$如图$1$,正方形$ABCD$的对角线相交于点$O$,点$O$又是正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为$1$,四边形$OEBF$为两个正方形重叠部分,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$可绕点$O$转动.则下列结论正确的是______$(填序号即可)$. ①$\triangle AEO$ ≌ $\triangle BFO$； ②$OE=OF$； ③四边形$OEBF

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如图,$\triangle ABC$是一张锐角三角形的硬纸片,$AD$是边$BC$上的高,$BC=4$,$AD=3$,从这张硬纸片剪下一个矩形$EFGH$,使它的一边$EF$在$BC$上,顶点$G$,$H$分别在$AC$,$AB$上,且$HG:HE=2:3$,$AD$与$HG$的交点为$M$. $(1)$求证:$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$； $(2)$求这个矩形$EFGH$的周长.

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在等边$\triangle ABC$中,$AB=11$,$P$、$Q$分别是边$BC$、$AC$上的点,且$\angle APQ=60^{\circ}$,$PC=8$,则$QC$的长是______.

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如图,在$\odot O$中,$\widehat {AB}=\widehat {AC}$,$\angle BOC=120^{\circ}$.求证$\triangle ABC$是等边三角形.

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如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

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在矩形$ABCD$中,已知两条邻边$AB$与$BC$的长分别为$2$和$3$,若$M$是边$CD$的中点,连接$AM$,过点$B$作$BH\bot AM$,垂足为$H$,则$BH$的长为（ ）

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如果$C$是线段$AB$延长线上一点,且$AC:BC=3:1$,那么$AB:BC$等于（ ）

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