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如果单项式$-xy^{b+1}$与$\frac{1}{2}{x^{a+2}}{y^3}$是同类项,那么关于$x$的方程$ax+b=0$的解为（ ）

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如图,点$E$是$\angle AOB$的平分线上一点,$EC\bot OA$,$ED\bot OB$,垂足分别为$C$、$D$. 求证:$\left(1\right)\angle ECD=\angle EDC$； $(2)OC=OD$； $(3)OE$是线段$CD$的垂直平分线.

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如图,在等边三角形$ABC$中,点$E$在边$AC$上,点$D$在边$BC$的延长线上,以$DE$为一边作等边三角形$DEF$,连接$CF$. $(1)$若$CD=CE$,求证:$AB$ ∥ $CF$； $(2)$试探究:线段$CD$、$CE$、$CF$三者之间的数量关系,并证明你的结论.

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如图,在平面直角坐标系中,点$A$在$x$轴上,点$B$、$D$在$y$轴上,$OA=OB$,点$D$的坐标为$\left(0,4\right)$,过点$B$作$BC\bot AD$,交$AD$的延长线于点$C$,且$2BC=AD$. $(1)$求$BC$的延长线与$x$轴的交点$M$的坐标； $(2)$求点$D$到$AB$的距离.

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学习了等腰三角形后,爱探究的小巴同学发现:等腰三角形顶角角平分线上任意一点到底边两端点的距离相等.于是他想出了如下证明方法,请根据他的思路完成以下作图与填空.如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$. $(1)$用直尺和圆规,作$\angle BAC$的角平分线$AD$交$BC$于点$D$,在线段$AD$上任取一点$E($不与点$A$、$D$重合),连接$EB$、$EC.(不写作法,不下结论,只保留作图痕迹)$ $(2)

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如图,$AC$,$BD$相交于点$O$,$OB=OD$.要使$\triangle AOB$ ≌ $\triangle COD,$则下列添加的条件中错误的是（ ）

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如图,在$\triangle ABD$中,$AC\bot BD$于$C$,$DF\bot AB$,交$AC$与点$E$,垂足为$F$,连接$BE$.已知$DE=AB$. $(1)$填空:把图中的两个全等三角形用符号表示出来 ______ ≌ ______； $(2)$利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明. 已知:如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=a$,$AC=b$,$AB

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如图,已知点$A$、$F$、$E$、$C$在同一直线上$,AD$ ∥ $BC,\angle DFA=\angle BEC,AF=CE.$求证:$\triangle ADF$ ≌ $\triangle CBE.$

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如图,$\angle B=\angle C=90^{\circ}$,$E$是$BC$的中点,$DE$平分$\angle ADC$. $(1)$求证:$AE$是$\angle DAB$的平分线； $(2)$探究:线段$AD$、$AB$、$CD$之间有何数量关系?请证明你的结论.

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解方程:$2x^{2}-6x+1=0$

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如图,在$\triangle ABC$中,点$M$,$N$分别是$AB$和$AC$上的点$,MN$ ∥ $BC$,且$BC=2MN$,点$E$是$CN$的中点,连接$ME$并延长交$BC$的延长线于点$D$.若$CD=4$,求$BC$的长. ​

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD\bot BC$于$D$,$CE$分别交$AB$、$AD$于$E$、$F$两点,且$BD=FD$,$AB=CF$.求证:$CE\bot AB$.

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【问题提出】 $(1)$已知,如图$1$所示,$AD\bot DE$于点$D$,$BE\bot DE$于点$E$,点$C$在线段$DE$上,$AC=BC$,且$AC\bot BC$. 求证:①$\triangle ADC$ ≌ $\triangle CEB.$ ②$BE=DE-AD$. 【问题解决】 $(2)$如图$2$所示,点$D$,$C$,$E$在直线$l$上,点$A$,$B$在$l$的同侧,$AC\bot BC$,若$AD=AC=

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如图,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形,点$B$在$ED$的延长线上,点$D$在$BE$上. $(1)$求证:$\angle ABD=\angle ACE$. $(2)$求$\angle BEC$的度数.

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【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一,构造全等三角形是几何学中的重要问题.一些较复杂的问题,只要依据条件构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了. 【初步感知】 $(1)$如图$1$,在$\triangle ABD$中,$BA=AD$,点$C$在边$BD$上,$AC=BC$,若在$AC$上取一点$E$,使得$AE=CD$.写出图中一对全等的三角形是______； 【深入探究】 $(2)$如图$

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下列几种说法:①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合.其中正确的是（ ）

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小刚在解关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$时,只抄对了$a=1$,$b=3$,解出其中一个根是$x=-1$.他核对时发现所抄的$c$比原方程的$c$值小$2$.则原方程的根的情况是（ ）

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如图,$AD$是$\triangle ABC$的高,$BE$是$\triangle ABC$的角平分线,$\angle BAD=40^{\circ}$,$\angle BEC=80^{\circ}$,则$\angle DAC= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD\bot CE$,$BE\bot CE$,垂足分别是点$D$,$E$,若$AD=3$,$BE=1$,则$DE$的长是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$\angle CAB=\angle EAF$,$BE$交$FC$于$O$点,$BE$与$CA$相交于$Q$点. $(1)$如图$1$,求证:$BE=CF$； $(2)$在（1）的条件下,当$\angle CAB=90^{\circ}$时,求证:$BE\bot CF$； $(3)$如图$2$,当$\angle CAB=60^{\ci

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