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数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的. $(1)$【经历体验】已知$m$,$n$均为正实数、且$m+n=4$,求$\sqrt{{m}^{2}+1}+\sqrt{{n}^{2}+4}$的最小值.通过分析,小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图,$AB=4$,$AC=1$,$BD=2$,$AC\bot AB$

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已知一次函数$y=ax+b(a$、$b$是常数,且$a\neq 0)$,$x$与$y$的部分对应值如表: $x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $y$ $6$ $4$ $2$ $0$ $-2$ $-4$ $(1)$牟宗华同学先用待定系数法求出函数$y=ax+b$的表达式是______,再画出函数______的图象,该图象与$x$轴交于点______,所以方程$ax+b=0$的解是______； $(2)$你还有更好

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如图:在$\angle EAF$的平分线上取点$B$作$BC\bot AF$于点$C$,在直线$AC$上取一动点$P$.在直线$AE$上取点$Q$使得$BQ=BP$. $(1)$如图$1$,当点$P$在点线段$AC$上时$,\angle BQA+\angle BPA=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$； $(2)$如图$2$,当点$P$在$CA$延长线上时,探究$AQ$、$AP$、$AC$三条线段之间的数量关系,说明理由； $(

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如图,利用图①和图②的阴影面积相等,写出一个正确的等式______.

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如果$4x^{2}-mxy+9y^{2}$是一个完全平方式,则$m=$____.

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如图,射线$OC$平分$\angle AOB$,点$D$、$Q$分别在射线$OC$、$OB$上,若$OQ=4$,$\triangle ODQ$的面积为$6$,过点$D$作$DP\bot OA$于点$P$,则$DP$的长为（ ）

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如图,将一个边长为$a+b$的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）,请认真观察图形,解答下列问题: $(1)$根据图中条件,请用两种方法表示该图形的总面积（用含$a$、$b$的代数式表示出来）； 方法$1:S= $______,方法$2:S= \_\_\_\_\_\_.$ $(2)$如果图中的$a$、$b\left(a \gt b\right)$满足$a^{2}+b^{2}=57$,$ab=12$,求$a+b$的值.

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已知$a+b=3$,则$a^{2}-b^{2}+6b$的值为______.

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如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆$DE$上一点$A$往地面拉两条长度相等的固定绳$AB$与$AC$,当固定点$B$,$C$到杆脚$E$的距离相等,且$B$,$E$,$C$在同一直线上时,电线杆$DE$就垂直于$BC$,工程人员这种操作方法的依据是______.

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在$\triangle ABC$中,将$\angle B$,$\angle C$按如图所示方式折叠,点$B$,$C$均落在边$BC$上点$H$处,线段$DE$,$FG$为折痕.若$\angle A=60^{\circ}$,则$\angle DHF$的度数为（ ）

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数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$相交于点$P$,根据图象可知,方程$x+5=ax+b$的解是（ ）

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（2023·江西模拟）若式子\( \sqrt[] { x-4 } \)有意义，则x的取值范围为 ．

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如图,将$\triangle ABC$纸片沿$DE$折叠,使点$A$落在点${A\’}$处,且${A\’}B$平分$\angle ABC$,${A\’}C$平分$\angle ACB$,若$\angle BA\’C=120^{\circ}$,则$\angle 1+\angle 2$的度数为______.

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（2023八下·乾安期末）已知\( y=\sqrt[] { x-3 }+\sqrt[] { 3-x }+4 \)，求\( \left ( { x-y } \right ) ^ { 2023 } \)的值．

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（2023八下·承德期末）若二次根式\( \sqrt[] { x+1 } \)在实数范围内有意义，则实数\( x \)的取值范围是（ ）

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如图,线段$AB$可以记作$a$,类似地,以$A$为起点,以$B$为终点的有向线段记作$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{a}$.在平面直角坐标系中,若$A(x_{1}$,$y_{1})$,$B(x_{2}$,$y_{2})$,则$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$.如$A\left(2,1\right)$,$B\left(-3,2\right)$,则$

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【阅读理解】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答下面的问题. 化简:$(\sqrt{1-3x})^{2}-|1-x|$. 解:隐含条件$1-3x\geqslant 0$,解得$x≤\frac{1}{3}$. 所以$1-x \gt 0$. 所以原式$=\left(1-3x\right)-\left(1-x\right)=1-3x-1+x=-2x$. 【启发应用】（1）按照上面的解法,试化简:$\sqrt{(x-3)^{2}}-

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如图,已知$AD$为$\triangle ABC$的中线,$AB=10cm$,$AC=7cm$,$\triangle ACD$的周长为$20cm$,则$\triangle ABD$的周长为______$cm.$

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如图,$\triangle ABO$与$\triangle CDO$关于$O$点中心对称,点$E$,$F$在线段$AC$上,且$AF=CE$,求证:$FD=BE$.

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估算$(\sqrt{2}+3)×\sqrt{2}$的结果（ ）

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