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如图点$A$,$B$,$C$,$D$依次在同一条直线上,$AB=CD$,$AE=DF$,$\angle A=\angle D$,$BF$与$CE$相交于点$M$.求证:$CE=BF$.​

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如图,在四边形$ABCD$中,$\angle D=\angle B=90^{\circ}$,点$O$为$BD$的中点,且$OA$平分$\angle BAC$. （1）求证:$OC$平分$\angle ACD$； （2）求证:$OA\bot OC$； （3）求证:$AB+CD=AC$.

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如图,点$E$、$F$在$BC$上,$BE=CF$,$AB=DC$,要使$\triangle ABF$ ≌ $\triangle DCE,$可补充的一个条件是______$.(写出一个即可)$

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如图,$AB=AC$,点$D$,$E$分别在$AB$与$AC$上,$CD$与$BE$相交于点$F$.只填一个条件使得$\triangle ABE$ ≌ $\triangle ACD$,添加的条件是:______.

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$(1)$如图,在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,且$\angle BAC=\angle DAE$,$B$、$D$、$E$三点共线,$AC$与$DE$交于点$F$. ①求证:$BD=EC$； ②如图$2$,若点$G$是$BE$中点,且$\angle DAF=\angle ABD+\angle AEF$,连接$AG$、$CD$,求证:$CD=2AG$； $(2)$若$AB=

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如图,$AB$,$CD$相交于$O,\triangle OCA$ ≌ $\triangle OBD,AO=6,BO=4,$则$CD$的长为（ ）

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综合实践 问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题: 如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$边上一点,连接$AD$,$BE$平分$\angle ABC$交$AD$于点$E$,点$F$是$AC$上一点,连接$FE$并延长交$BC$于点$G$,$\angle AEF=\angle ABD$,求证:$\angle BAD=\angle CGF$. $(1)$独立思考:求证:$\angle BAD

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如图,将一张长方形纸片$ABCD$按如图方式折叠,若$AB=4$,$BE=5$,则重叠部分的面积为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线相交于点$P$,过点$P$作$EF$ ∥ $BC$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,过点$P$作$PD\bot AC$于点$D$,下列四个结论中正确的结论有（ ） ​①$EF=BE+CF$； ②$\angle BPC=180^{\circ}-\angle BAC$； ③点$P$到$\triangle ABC$各边的距离相等； ④

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下面四个三角形中,与图中的$\triangle ABC$全等的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,点$F$为$AB$延长线上一点,点$E$在$BC$上,$BE=BF$,连接$AE$,$EF$和$CF$. $(1)$求证:$\triangle ABE$ ≌ $\triangle CBF$； $(2)$若$\angle CAE=30^{\circ}$,求$\angle EFC$的度数.

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如图$1$,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle BAD=120^{\circ}$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,$\angle EAF=60^{\circ}$,试探究图$1$中线段$BE$、$EF$、$FD$之间的数量关系. 如图$2$,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B+\angle D=180^{\circ}

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解关于\(x\)的方程：\(a(x-5)=1.\)

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$(1)$如图$1$,正方形$ABCD$中,点$P$为线段$BC$上一个动点,若线段$MN$垂直$AP$于点$E$,交线段$AB$于$M$,$CD$于$N$.求证:$AP=MN$； $(2)$如图$2$,正方形$ABCD$中,点$P$为线段$BC$上一动点,若线段$MN$垂直平分线段$AP$,分别交$AB$、$AP$、$BD$、$DC$于点$M$、$E$、$F$、$N$.求证:$EF=ME+FN$； $(3)$在（2）的条件下,若正方形

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如图,在$\triangle MPN$中,$H$是高$MQ$和$NR$的交点,且$MQ=NQ$,已知$PQ=5$,$NQ=9$,则$MH$长为（ ）

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如图,以$\triangle ABC$的三条边为边,分别向外作正方形,连接$EF$,$GH$,$DJ$,如果$\triangle ABC$的面积为$8$,则图中阴影部分的面积为（ ）

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如图,$BP$、$CP$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线,过$P$点作$EF$ ∥ $BC$,$EF$分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$,$PD\bot BC$于点$D$.下列结论:①$∠BPC=90°+\frac{1}{2}∠A$；②$C_{\triangle AEF}=AB+AC$；③若$AE+AF=m$,$PD=n$,则$\triangle AEF$的面积为$\frac{1}{2}mn$.其

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如图,$AC\bot BC$,$AD\bot BD$,$AC=AD$,则判定$Rt\triangle ABC$ ≌ $Rt\triangle ABD$的依据是（ ）

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解方程:

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle CAB$,$D$为$BC$的中点,$DE\bot AB$,$DF\bot AC$,垂足分别为$E$、$F$,求证:$AD\bot BC$.

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