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等边三角形$ABC$的边长为$4cm$,点$D$沿$CA$方向从点$C$出发向点$A$运动,点$E$从$B$出发沿$AB$的延长线$BF$向右运动,已知点$D$、$E$都以每秒$0.5cm$的速度同时开始运动,运动过程中$DE$与$BC$相交于点$P$.求运动几秒后,$\triangle ADE$为直角三角形?

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如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle BAD=140^{\circ}$,$AB\bot CB$于点$B$,$AD\bot CD$于点$D$,$E$、$F$分别是$CB$、$CD$上的点,且$\angle EAF=70^{\circ}$,下列说法正确的是______$.(填写正确的序号)$ ①$DF=BE$,②$\triangle ADF$ ≌ $\triangle ABE$,③$FA$平分$\angle DFE$

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如图,在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$OA \lt OC$,$\angle AOB=\angle COD=36^{\circ}$,连接$AC$、$BD$交于点$M$,连接$OM$.下列结论:①$\angle AMB=36^{\circ}$,②$AC=BD$,③$OM$平分$\angle AOD$,④$MO$平分$\angle AMD$.其中正确的结论是____$($填

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如图$1$,点$O$为线段$AB$上的任意一点（不于$A$,$B$重合）,分别以$AO$,$BO$为一腰在$AB$的同侧作等腰$\triangle AOC$和$\triangle BOD$,$OA=OC$,$OB=OD$,$\angle AOC$与$\angle BOD$都是锐角,且$\angle AOC=\angle BOD$. （1）试说明:$CB=AD$； （2）如图$2$,$AD$与$BC$相交于点$P$,$\angle COD

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如图所示,在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$CE$与$BD$相交于点$M$,$BD$与$AC$交于点$N$,试猜想$BD$与$CE$有何关系?说明理由.

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如图,抛物线$y=x^{2}+4x$与$x$轴的负半轴交于点$A$,经过点$A$的直线与该函数图象交于点$B(\frac{3}{4},\frac{57}{16})$. $(1)$求直线$AB$的表达式. $(2)$点$C$是线段$AB$上任意一点,过点$C$作$CD\bot x$轴,交抛物线于点$D$,设点$C$的横坐标为$m$. ①当$CD=\frac{11}{2}$时,求$m$的值. ②当$\triangle ACD$是以$AC$为

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将抛物线$y=6x^{2}$先向左平移$2$个单位,再向上平移$3$个单位后,得到（ ）

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在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=a\left(x+c\right)^{2}$的图象大致为（ ）

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下列各选项中,是方程的是（ ）

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如果单项式$-xy^{b+1}$与$\frac{1}{2}{x^{a+2}}{y^3}$是同类项,那么关于$x$的方程$ax+b=0$的解为（ ）

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关于$x$的方程$3x+2m=-1$与方程$x+2=2x+1$的解相同,则$m$的值为（ ）

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$-2\left(x-1\right)$去括号的结果是（ ）

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如图,点$E$是$\angle AOB$的平分线上一点,$EC\bot OA$,$ED\bot OB$,垂足分别为$C$、$D$. 求证:$\left(1\right)\angle ECD=\angle EDC$； $(2)OC=OD$； $(3)OE$是线段$CD$的垂直平分线.

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如图,在等边三角形$ABC$中,点$E$在边$AC$上,点$D$在边$BC$的延长线上,以$DE$为一边作等边三角形$DEF$,连接$CF$. $(1)$若$CD=CE$,求证:$AB$ ∥ $CF$； $(2)$试探究:线段$CD$、$CE$、$CF$三者之间的数量关系,并证明你的结论.

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如图,在平面直角坐标系中,点$A$在$x$轴上,点$B$、$D$在$y$轴上,$OA=OB$,点$D$的坐标为$\left(0,4\right)$,过点$B$作$BC\bot AD$,交$AD$的延长线于点$C$,且$2BC=AD$. $(1)$求$BC$的延长线与$x$轴的交点$M$的坐标； $(2)$求点$D$到$AB$的距离.

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学习了等腰三角形后,爱探究的小巴同学发现:等腰三角形顶角角平分线上任意一点到底边两端点的距离相等.于是他想出了如下证明方法,请根据他的思路完成以下作图与填空.如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$. $(1)$用直尺和圆规,作$\angle BAC$的角平分线$AD$交$BC$于点$D$,在线段$AD$上任取一点$E($不与点$A$、$D$重合),连接$EB$、$EC.(不写作法,不下结论,只保留作图痕迹)$ $(2)

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如图,线段$AF\bot AE$,垂足为点$A$,线段$GD$分别交$AF$、$AE$于点$C$,$B$,连结$GF$,$ED$.则$\angle D+\angle G+\angle AFG+\angle AED$的度数为______.

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如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD$交于点$O$,以$BD$为斜边作$Rt\triangle BPD$,使得$\angle BPD=90^{\circ}$,$AC$与$BP$交于点$Q$,连接$AP$,若$AQ=DO$,$\angle PAQ=2\angle PBD$,$BD=4$,则$AC$的长为______.

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如图$1$,抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点. $(1)$求该抛物线的解析式； $(2)$求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； $(3)$若点$D$是抛物线的顶点,求三角形$ABD$的面积； $(4)$如图$2$,若$P$是抛物线上位于直线$BC$下方的一个动点,设点$P$的横坐标为$t$,当$t$为何值时,三角形$PBC$的面积最大,最大值

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如图,$AC$,$BD$相交于点$O$,$OB=OD$.要使$\triangle AOB$ ≌ $\triangle COD,$则下列添加的条件中错误的是（ ）

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