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如图,已知过点$B\left(1,0\right)$的直线$l_{1}$与直线$l_{2}:y=2x+4$相交于点$P\left(-1,a\right)$. （1）求直线$l_{1}$的解析式； （2）求四边形$PAOC$的面积.

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已知正比例函数$y=kx\left(k\neq 0\right)$的图象经过点$\left(2,-6\right)$,则此正比例函数的关系式为（ ）

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如图,在平面直角坐标系中,点$A$、$B$为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$上两点,且点$B$横坐标为点$A$横坐标的两倍,分别过点$A$作$x$轴平行线,过点$B$作$y$轴平行线,两直线交于点$C$,若$S_{\triangle OAB}=6$,则$S_{\triangle ABC}=\_\_\_\_\_\_.$ ​

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如图,在$\triangle MPN$中,$H$是高$MQ$和$NR$的交点,且$PM=HN$,已知$MH=3$,$PQ=2$,则$PN$的长为（ ）

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数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科,对一个人的思维也是一种"挑战"几何图形更是变幻无穷,但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发,逐步"从特殊到一般"进行探索,思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段$AE$与$DB$数量关系的例子: 已知,在等边三角形$ABC$中,点$E$在$AB$上,点$D$在$CB$的延长线上,且$ED=EC$. 小星的思路是: $(1)$【特殊情况,探索结论】如图$1$,当点$E$为$AB

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如图,$OA=OB$,$OC=OD$,$\angle AOC=\angle BOD$,求证:$AD=BC$.

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对于任意实数$a$,$b$,我们定义新运算"$*$":$a*b=a^{2}+2ab-b^{2}$,例如$3*5=3^{2}+2\times 3\times 5-5^{2}=14$.若$m$,$n$是方程$\left(x+2\right)*3=0$的两根,则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为______.

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下列解方程变形错误的是（ ）

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已知二次函数$y=-x^{2}+2x+3$. $(1)$用描点法画出这个二次函数的图象； $(2)$观察图象,直接写出当$0\leqslant x\leqslant 3$时,$y$的取值范围为______.

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在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=x^{2}-2mx+m^{2}-2$. $(1)$求抛物线的顶点坐标（用含$m$的式子表示）； $(2)$已知点$P\left(3,2\right)$. ①当抛物线过点$P$时,求$m$的值； ②点$Q$的坐标为$\left(m,1\right)$.若抛物线与线段$PQ$恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出$m$的取值范围.

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在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=mx^{2}+\left(m-3\right)x-3\left(m \gt 0\right)$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$左侧）,与$y$轴交于点$C$,$AB=4$,点$D$为抛物线的顶点. $(1)$求点$A$和顶点$D$的坐标； $(2)$将点$D$向左平移$4$个单位长度,得到点$E$,求直线$BE$的表达式； $(3)$若抛物线$y=ax^{2}-6$与线段$D

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如图,$AB\bot CD$,且$AB=CD$,$E$,$F$是$AD$上两点,$CE\bot AD$,$BF\bot AD$.若$CE=4$,$BF=3$,$EF=2$,则$AD$的长为（ ）

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已知:如图,$AB=DE$,$CD=FA$,$\angle A=\angle D$,$\angle AFC=\angle DCF$,则$BC=EF$.你能说出它们相等的理由吗?

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【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图$1$,$OP$平分$\angle MON$.点$A$为$OM$上一点,过点$A$作$AC\bot OP$,垂足为$C$,延长$AC$交$ON$于点$B$,可根据______证明$\triangle AOC$ ≌ $\triangle BOC,$则$AO=BO$,$AC=BC($即点$C$为$AB$的中点). 【类比解答】 如图$2$,在$\triangle ABC$中,$CD$

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解方程:$2x^{2}-x=2-4x$.

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解方程: $(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x$； $(2)\frac{x+3}{2}-2=-\frac{2x-2}{5}$.

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当$x=$____时,代数式$3x+2$与$6-5x$的值互为相反数.

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关于$x$的方程$3x-\left(x-m\right)=5$和$\frac{x}{2}-5=2(x-1)$的解互为相反数,求$m$的值.

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如图,数轴上点$A$,$B$,$C$分别表示数$a$,$b$,$c$,有下列结论:$a+b \gt 0$；$abc \lt 0$；$a-c \lt 0$；$-1 \lt \frac{a}{b} \lt 0$,则其中正确结论的个数是（ ）

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已知函数$y=-\left(x-2\right)^{2}$的图象上有$A(-\frac{1}{2},y_1)$,$B(1$,$y_{2})$,$C(5$,$y_{3})$三点,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是______(用"$ \lt $"连接).

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