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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,把$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转到$\triangle A_{1}B_{1}C$的位置,$A_{1}B_{1}$交直线$CA$于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,当线段$CD$的长为______时,$\triangle A_{1}CD$是等腰三角形.

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如图,点$E$是▱$ABCD$的边$AD$上的一点,且$DE:AE=1:2$,连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$,若$DE=3$,$DF=4$,则▱$ABCD$的周长为（ ）

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下列命题一定正确的是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=2AC$,$D$,$E$分别是边$BA$,$BC$的中点,连接$DE$.将$\triangle BDE$绕点$B$顺时针旋转$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}\right)$得到$\triangle BFG$,点$D$的对应点是点$F$,连接$AF$,$CG$. $(

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如图,在正方形$ABCD$中,点$M$是边$BC$上的一点（不与$B$、$C$重合),点$N$在边$CD$延长线上,且满足$\angle MAN=90^{\circ}$,联结$MN$,$AC$,$MN$与边$AD$交于点$E$. $(1)$求证:$AM=AN$； $(2)$如果$\angle CAD=2\angle NAD$,求证:$AM^{2}=\sqrt{2}AB\cdot AE$； $(3)MN$交$AC$点$O$,若$\frac

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如图,$AD$与$BC$相交于点$O$,可添加一个条件:______,使得$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似.

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如图,在$Rt\triangle ABC$内有边长分别为$a$,$b$,$c$的三个正方形,则$a$,$b$,$c$满足的关系式是（ ）

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如图,梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$,点$E$是边$AD$的中点,连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$,交$AC$于点$G$. $(1)$若$FD=2$,$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{3}$,求线段$DC$的长； $(2)$求证:$EF\cdot GB=BF\cdot GE$.

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如图,已知在等腰$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AD$为$BC$边的中线,过点$C$作$CE\bot AD$于点$E$,交$AB$于点$F$.若$AC=2$,则线段$EF$的长为（ ）

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如图,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC=2\sqrt{2}$,$D$为线段$AC$的中点,在$BC$上任意取一点$P$,连接$AP$,将线段$AP$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$AP\’$,$DP\’$的最小值为______.

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已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． （1）求证：BE=DG； （2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$BC=8$,点$P$为$AB$上一点,过点$P$作$PQ$ ∥ $BC$交$AC$于点$Q$.设$AP$的长度为$x$,点$P$,$Q$的距离为$y_{1}$,$\triangle ABC$的周长与$\triangle APQ$的周长之比为$y_{2}$. $(1)$请直接写出$y_{1}$,$y_{2}$分别关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围； $(2)$在给

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如图,在钝角三角形$ABC$中,$AB=6cm$,$AC=12cm$,动点$D$从$A$点出发到$B$点止,动点$E$从$C$点出发到$A$点止.点$D$运动的速度为$1cm/$秒,点$E$运动的速度为$2cm/$秒.如果两点同时运动,那么当以点$A$、$D$、$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似时,运动的时间是（ ）

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如图,点$E$是矩形$ABCD$的边$AB$的中点,$F$是$BC$边上一动点,线段$DE$和$AF$相交于点$P$,连接$PC$,过$A$作$AQ$ ∥ $PC$交$PD$于点$Q$. $(1)$证明:$PC=2AQ$； $(2)$已知$AD^{2}=PD\cdot DE$,$AB=10$,$AD=12$,求$BF$的长； $(3)$当点$F$为$BC$的中点时,求$\frac{{AP}}{{PF}}$的值.

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如图,已知点$D$在$\triangle ABC$的边$AB$上,$DE$交$AC$于点$E$,$\angle ADE=\angle B$,点$F$在$AD$上,连接$CD$,$EF$. $(1)$求证:$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$； $(2)$若$AD^{2}=AF\cdot AB$,求证:$\triangle AEF$ ∽ $\triangle ACD.$

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如图,在平行四边形$ABCD$中,过点$A$作$AE\bot BC$,垂足为点$E$,连接$DE$,$F$为线段$DE$上一点,且$\angle AFE=\angle B$. $(1)$求证:$\triangle ADF$ ∽ $\triangle DEC$； $(2)$若$AB=4$,$AD=3\sqrt{3}$,$AF=2\sqrt{3}$,求$AE$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$DE$垂直平分$AB$.若$BE\bot AC$,$AF\bot BC$,垂足分别为点$E$,$F$,连接$EF$,则$\angle EFC=\_\_\_\_\_\_.$

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如图:$AD$ ∥ $EG$ ∥ $BC$,$EG$分别交$AB$,$DB$,$AC$于点$E$,$F$,$G$,已知$AD=5$,$BC=10$,$AE=9$,$AB=12$.求$EG$,$FG$的长.

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将$\triangle ABC$沿$BC$方向平移至$\triangle DEF$,点$A$,$B$,$C$的对应点分别是$D$,$E$,$F$,使得$BC:EC=5:3$,则$\triangle ABC$与$\triangle GEC$的周长之比为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$BC=12cm$,高$AD=6cm$,正方形$HEFG$的四个顶点均在$\triangle ABC$的边上,则正方形$HEFG$的边长为______.

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