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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=5$,$BC=12$.动点$P$在折线$BC-CA$上运动.当点$P$不与点$C$重合时,以$PC$为腰作等腰三角形$PCD$,使$\angle PCD=\angle B$,且底边$CD$在$\angle ACB$的内部. $(1)AB$的长为______； $(2)$当点$D$在边$AB$上时,求$CD$的长； $(3)$连结$BD$

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已知,二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a$,$b$,$c$都是常数,且$a\neq 0)$的部分对应值为: $x$ $\ldots $ $-1$ $0$ $1$ $2$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $0$ $-2$ $-2$ $n$ $\ldots $ $(1)$求$n$的值和二次函数的解析式. $(2)$若点$Q\left(m,4\right)$在该函数图象上,求$m$的值.

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图$1$是装了液体的高脚杯示意图（数据如图),用去一部分液体后如图$2$所示,此时液面$AB=\left(\ \ \right)$

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二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象过点$A\left(-2,5\right)$,且当$x=2$时,$y=-3$,求这个二次函数的解析式,并判断点$B\left(0,3\right)$是否在这个函数的图象上.

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如图,在同一平面直角坐标系中,关于$x$的二次函数$y=bx^{2}-ax+c$与一次函数$y=ax+b$的图象可能是（ ）

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已知抛物线$y=x^{2}+bx+c$的图象经过$A\left(-1,12\right)$,$B\left(0,5\right)$. $(1)$求抛物线解析式和抛物线的顶点坐标. $(2)$当$x$取什么范围时,$y$随着$x$的增大而减小?

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在同一坐标系中,二次函数$y=ax^{2}+bx$与一次函数$y=ax-a$的图象可能是（ ）

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已知$\triangle ABC$的三边长为$1$、$2$、$\sqrt{3}$,在下列给定条件的$\triangle DEF$中,与$\triangle ABC$一定相似的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是边$AB$,$AC$上的点,连接$DE$,且$\angle A=60^{\circ}$,$\angle ADE=50^{\circ}$,$\angle B=70^{\circ}$.求证:$\triangle ADE$ ∽ $\triangle ACB.$

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如图,在等边三角形$ABC$中,点$D$,$E$分别在$BC$,$AB$上,且$\angle ADE=60^{\circ}$. 求证:$\triangle ADC$ ∽ $\triangle DEB.$

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二次函数$y=x^{2}-4x+3$的图象的对称轴是直线______.

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二次函数$y=x^{2}-4x-3$的顶点坐标是（____,____$)$.

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如图,当$ab \gt 0$时,函数$y=ax^{2}$与函数$y=bx+a$的图象大致是（ ）

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已知二次函数$y=x^{2}-2mx+m^{2}-1(m$为常数). $(1)$证明:不论$m$为何值,该函数的图象与$x$轴总有两个公共点； $(2)$当$m$的值改变时,该函数的图象与$x$轴两个公共点之间的距离是否改变?若不变,请求出距离；若改变,请说明理由.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+1$的函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如下表所示: $x$ $\ldots $ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $m$ $1$ $n$ $1$ $p$ $\ldots $ $(1)$当$m=4$时. ①求这个二次函数的解析式； ②当抛物线下降时,求$x$的取值范围； $(2)$如果$m$、$n$、$p$这三个实数中,只有一个是正数,求

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在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,用直尺和圆规在$AB$上确定点$D$,使$\triangle ACD$ ∽ $\triangle CBD$,根据作图痕迹判断,正确的是 $($)

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如图,已知$\triangle ABC$,在边$BC$的同侧分别作三个等腰直角$\triangle ABD$、$\triangle BCF$、$\triangle ACE$,且$\angle ABD=\angle FBC=\angle EAC=90^{\circ}$,连接$DF$,$EF$. $(1)$求证:$\triangle BDF$ ≌ $\triangle BAC$； $(2)$求证:四边形$ADFE$是平行四边形； $(3)$

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=5$,斜边上的高$AH=3$,矩形$DEFG$的边$DE$在边$BC$上,顶点$G$、$F$分别在边$AB$、$AC$上,如果$GF$恰好经过$\triangle ABC$的重心,那么$BD$的长为（ ）

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如图,抛物线$y=x^{2}-4$与$x$轴交于$A$,$B$两点,点$P$是以抛物线的顶点$C$为圆心,$2$为半径的圆上的动点,点$Q$是线段$PB$的中点,连接$OQ$则线段$OQ$的最大值是______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$图象上部分点的横坐标$x$,纵坐标$y$的对应值如表所示: $x$ $\ldots $ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $8$ $3$ $0$ $-1$ $m$ $3$ $\ldots $ $(1)$根据表中的信息,则$m$值为______； $(2)$求此二次函数的解析式,并用描点法画出该

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