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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中$y$与$x$的部分对应值如表: $x$ $\ldots $ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $2$ $3$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $6$ $0$ $-4$ $-6$ $-4$ $0$ $\ldots $ 下列说法错误的是（ ）

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在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^{2}+4ax+4a+1\left(a \lt 0\right)$交$x$轴于$A$,$B$两点,若此抛物线在点$A$,$B$之间的部分与线段$AB$所围成的区域内（包括边界）有且只有$6$个整点（横、纵坐标都是整数的点）,则$a$的取值范围是______.

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下列$y$关于$x$的函数中,属于二次函数的是（ ）

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若$m$是方程$x^{2}-x-1=0$的一个根,则$-2m^{2}+2m$的值为（ ）

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在平面直角坐标系中,将抛物线$y=-x^{2}$先向左平移$3$个单位,再向下平移$4$个单位,得到的抛物线的函数表达式为（ ）

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如图,一次函数$y_{1}=kx+b\left(k\neq 0\right)$与函数为$y_{2}=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A\left(1,6\right)$,$B\left(6,a\right)$两点. $(1)$求这两个函数的解析式； $(2)$点$P$在线段$AB$上,过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为$M$,交函数$y_{2}$的图象于点$Q$,若$\triangle POQ$面积为$2$,求点$P$的坐

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已知函数$y=ax^{2}-2ax-1(a$是常数,$a\neq 0)$,下列结论正确的是（ ）

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已知抛物线$y=x^{2}-2x-2$. $x$ $\ldots $ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $\ldots $ $(1)$试求出该抛物线顶点坐标. $(2)$选取适当的数据填入表格,并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象.

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对于抛物线$y=-2\left(x-1\right)^{2}+3$,下列判断正确的是（ ）

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已知二次函数$y=-x^{2}+2mx+1$,当$x \gt 4$时,函数值$y$随$x$的增大而减小,则$m$的取值范围是______.

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若二次函数$y=2x^{2}-4x+7$,当$0 \lt x\leqslant 3$时,$y$的取值范围是______.

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下列命题中,说法正确的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=6$,$BC=8$,点$D$是$BC$边上的一个动点,点$E$在$AC$上,点$D$在运动过程中始终保持$\angle 1=\angle B$,设$BD$的长为$x\left(0 \lt x \lt 8\right)$. $(1)$求证:$\triangle DCE$ ∽ $\triangle ABD$； $(2)$当$CE=2$时,求$x$的值.

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如图,$AC$、$BD$交于点$E$,$BC=CD$,且$BD$平分$\angle ABC$. $(1)$求证:$\triangle AEB$ ∽ $\triangle CED$； $(2)$若$BC=12$,$EC=6$,$AE=4$,求$AB$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$BC$上,$AE$与$CD$交于点$F$,若$AE$平分$\angle BAC$,$AB\cdot AF=AC\cdot AE$. $(1)$求证:$\angle AFD=\angle AEC$； $(2)$若$EG$ ∥ $CD$,交边$AC$的延长线于点$G$,求证:$CD\cdot CG=FC\cdot BD$.

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已知在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,点$E$在射线$CA$上.直线$CD$与直线$BE$相交于点$F$. $(1)$如图$1$,当点$E$在边$AC$上时,如果$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BF}$,求证:$EF=EC$； $(2)$如果$AB=AC=\frac{3}{2}BC$,$AD=BC$, ①如图$2$,当$EC=2BC$时,求$\frac{FB}{FC}$的值； ②填空:当$BC

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如图,$D$、$E$、$F$分别在$\triangle ABC$的边上,且$DE$ ∥ $BC,EF$ ∥ $AB,$下列等式不成立的是（ ）

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（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF； （2）已知：如图2，⊙O的半径为3，弦AB的长为4．求sinA的值．

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如图,在菱形$ABCD$中,点$E$在对角线$AC$上,延长$BE$交$AD$于点$F$. $(1)$求证:$\frac{{EF}}{{EB}}=\frac{{FA}}{{BC}}$； $(2)P$为$CD$上一点,在$AC$上求作点$Q$,使得$\triangle CPQ$ ∽ $\triangle CBE.$ $($要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）

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如图,在矩形$ABCD$中,对角线$BD$的垂直平分线分别交边$AB$、$CD$于点$E$、$F$.若$AD=4$,$BE=5$,则$\tan \angle ABD=\_\_\_\_\_\_.$

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