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若$y=\left(a-1\right){x}^{3{a}^{2}-1}$是关于$x$的二次函数,则$a=$____.

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二次函数$y=x^{2}-6$的顶点坐标为______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a$,$b$,$c$是常数,$a\neq 0)$的$y$与$x$的部分对应值如下表: $x$ $-5$ $-4$ $-2$ $0$ $2$ $y$ $6$ $0$ $-6$ $-4$ $6$ 下列结论: ①$a \gt 0$； ②当$x \lt -2$时,$y$的值随$x$的增大而减小； ③方程$ax^{2}+bx+c=-5$有两个不相等的实数根. ④当$x=-2$时,函数有最小值$-6$. 其

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一次函数$y=cx+b$与二次函数$y=ax^{2}+bx+c$在同一坐标系内的图象可能为（ ）

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx$经过点$A\left(-3,-3\right)$,且该抛物线的对称轴经过点$A$,则该抛物线的解析式为（ ）

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如图,正方形$ABCD$和正方形$EFGO$的边长都是$1$,正方形$EFGO$绕点$O$旋转时,两个正方形重叠部分的面积是:______.

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数学中的轴对称就像镜子一样,可以展现出图形对称的美,初中常见的轴对称图形有:等腰三角形、菱形、圆等. 如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$. $(1)$尺规作图:作$\triangle ABC$关于直线$AC$对称的$\triangle ADC(保留作图痕迹,不写作法)$； $(2)$连接$BD$,交$AC$于点$O$,若$BD=2$,四边形$ABCD$周长为$4\sqrt{5}$,求四边形$ABCD$的面积.

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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$是$CD$边上一点,连接$AE$与对角线$BD$交于点$P$,过点$P$作$PF\bot AE$交$BC$于点$F$,连接$AF$交$BD$于点$G$,下列四个结论:①$AP=PF$；②$DE+BF=EF$；③$PB-PD=\sqrt{2}BF$；④$S_{\triangle APG}=\frac{1}{2}{S}_{△AEF}$.其中正确结论个数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE$为______时,$\triangle ABC$与以点$A$、$D$、$E$为顶点的三角形相似.

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$、$C\left(0,3\right)$三点,直线$l$是抛物线的对称轴. $(1)$求抛物线的函数关系式； $(2)$设点$P$是直线$l$上的一个动点,当$\triangle PAC$的周长最小时,求点$P$的坐标； $(3)$在直线$l$上是否存在点$M$,使$\triangle MAC$为等腰三角形?若存在

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如图,若抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴的一个交点坐标为$\left(-1,0\right)$,则抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为（ ）

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如图,平行四边形$ABCD$的对角线交于点$O$,$EF$过点$O$且分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$,在$BD$上找点$M$,$N($点$N$在点$M$下方),使以点$E$,$F$,$M$,$N$为顶点的四边形为平行四边形,在甲、乙、丙三个方案中,正确的方案是（ ）

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已知:如图,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在$BC$和$CD$上,$AE=AF$. $(1)$求证:$BE=DF$； $(2)$连接$AC$交$EF$于点$O$,延长$OC$至点$M$,使$OM=OA$,连接$EM$,$FM$,判断四边形$AEMF$是什么特殊四边形?并证明你的结论.

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已知二次函数$y=a\left(x-h\right)^{2}+k\left(a\neq 0\right)$的图象经过原点,当$x=1$时,函数有最小值$-1$. $(1)$求这个二次函数的解析式,并在如图所示的坐标系中画出它的图象. $(2)$利用图象填空:这条抛物线的开口向______,顶点坐标为______,对称轴是直线______；当______时,$y\leqslant 0$.

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二次函数$y=2x^{2}+bx+3$的图象的对称轴是直线$x=1$,则常数$b$的值为______.

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利用函数图象探究方程$x|x-2|=\frac{1}{2}$的实数根的个数. $(1)$设函数$y=x|x-2|$,则这个函数的图象与直线$y=\frac{1}{2}$的交点的______坐标（填横或纵）就是方程$x|x-2|=\frac{1}{2}$的实数根. $(2)$分类讨论:当$x \lt 2$时,$y=-x^{2}+2x$；当$x\geqslant 2$时,$y=$______； $(3)$在给定的坐标系中,已经画出了当$x\

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=4cm$,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=45^{\circ}$.动点$P$从点$A$出发,以$2cm/s$的速度沿$AB$方向向终点$B$运动.过点$P$作$PQ\bot AB$,交折线$AC-CB$于点$Q$.设点$P$的运动时间为$x\left(x \gt 0\right)$,$\triangle APQ$的面积为$y(cm^{2})$. $(1

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如图,▱$ABCD$中,$E$是$AB$的中点,连结$CE$并延长交$DA$的延长线于点$F$.求证:$AF=AD$.

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如图,点$O$是等边三角形$ABC$内的一点,$\angle BOC=150^{\circ}$,将$\triangle BOC$绕点$C$按逆时针旋转得到$\triangle ADC$,连接$OD$,$OA$. $(1)$求$\angle ODC$的度数； $(2)$若$OB=2$,$OC=3$,求$AO$的长.

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二次函数$y=\left(x-3\right)\left(x+5\right)$的图象的对称轴是（ ）

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