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正方形的边长是$1$,若边长增加$x$,则面积增加$y$,$y$与$x$之间的关系式是______.

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,有五个点$A\left(2,0\right)$,$B\left(0,-2\right)$,$C\left(-2,4\right)$,$D\left(4,-2\right)$,$E\left(7,0\right)$,将二次函数$y=a\left(x-2\right)^{2}+m\left(m\neq 0\right)$的图象记为$W$.下列的判断中: ①点$A$一定不在$W$上； ②点$B$,$C$,$

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已知二次函数$y=x^{2}-4x-6$,若$-1 \lt x \lt 6$,则$y$的取值范围为____.

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点$P_{1}(-3$,$y_{1})$,$P_{2}(-1$,$y_{2})$,$P_{3}(5$,$y_{3})$均在二次函数$y=-\left(x-1\right)^{2}+c$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是（ ）

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如图$1$,在平面直角坐标系中,$Rt\triangle ACD$沿直线$CD$翻折得$\triangle BCD$,且$A\left(0,-2\right)$,$D\left(0,3\right)$,点$B$在$x$轴负半轴上,$A$、$C$、$B$三点在同一条直线上,直线$CD$交$x$轴于点$E$. $(1)$求直线$CD$的解析式； $(2)$如图$1$,在线段$CE$上有一动点$F$,连接$OF$,$P$为$AB$上一动点,$

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如图,平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,直线$y=kx+15\left(k\neq 0\right)$经过点$C\left(3,6\right)$,与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.线段$CD$平行于$x$轴,交直线$y=\frac{3}{4}x$于点$D$,连接$OC$,$AD$. $(1)$填空:$k=\_\_\_\_\_\_,$点$A$的坐标是(______$,$______)； $(2)$求证:四边形$OADC$

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已知函数$y=-x^{2}+\left(m-3\right)x+2m(m$为常数). $(1)$试判断该函数的图象与$x$轴的公共点的个数； $(2)$求证:不论$m$为何值,该函数的图象的顶点都在函数$y=x^{2}+4x+6$的图象上； $(3)$若直线$y=x$与二次函数图象交于$A$、$B$两点,当$-4\leqslant m\leqslant 2$时,求线段$AB$的取值范围.

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在同一坐标系中一次函数$y=ax-b$和二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象可能为（ ）

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已知:二次函数$y=x^{2}-mx+m+1$的图象经过$\left(0,5\right)$ $(1)$求此二次函数的表达式； $(2)$用配方法将其化为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$的形式.

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若点$A\left(-4,y_{1}\right)$,$B\left(-1,y_{2}\right)$,$C\left(1,y_{3}\right)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)^{2}-1$上,则（ ）

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已知函数$y=-\left(x-1\right)^{2}+4$. $(1)$当$x=$______时,抛物线有最大值,是______. $(2)$当$x $______时,$y$随$x$的增大而增大. $(3)$该函数可以由函数$y=-x^{2}$的图象经过怎样的平移得到? $(4)$该抛物线与$x$轴交于点______$,$与$y$轴交于点______$.(写坐标)$ $(5)$在下面的坐标系中画出该抛物线的图象.

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已知函数$y=ax^{2}+2ax+1$在$-3\leqslant x\leqslant 2$上有最大值$9$,则常数$a$的值是（ ）

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若$x=3$是方程$x^{2}-kx-6=0$的一个解,则方程的另一个解是______,$k$的值是______.

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如图,矩形$ABCD$中,$BC=2AB$,对角线$AC$、$BD$交于点$O$,$CE$平分$\angle BCD$交$AD$于点$E$,$F$为$CE$上一点,$G$为$AD$延长线上一点,连接$DF$、$FG$、$DF$的延长线交$AC$于点$H$,$FG$交$CD$于点$M$,且$\angle ACB=\angle CDH=\angle AGF$,以下结论:①$DH\bot AC$；②$\triangle AOB$是等边三角形；

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如图,菱形$ABCD$的边长为$4$,$\angle BAD=60^{\circ}$,过点$B$作$BE\bot AB$交$CD$于点$E$,连接$AE$,$F$为$AE$的中点,连接$CF$,$CF$交$BE$于点$G$,则$GF$的长为______.

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若抛物线$y=2x^{2}-15$与直线$y=9$交于$A$,$B$两点,则点$A$与点$B$之间的距离$AB=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+4$交$y$轴于点$A$,交过点$A$且平行于$x$轴的直线于另一点$B$,交$x$轴于$C$,$D$两点（点$C$在点$D$右边）,对称轴为直线$x=\frac{5}{2}$,连接$AC$,$AD$,$BC$.若点$B$关于直线$AC$的对称点恰好落在线段$OC$上,下列结论中错误的是（ ）

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学习了等腰三角形后,数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究.小聪发现:在一个锐角三角形中,如果有两条边上的高相等,那么这个锐角三角形是等腰三角形.小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等,从而得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空: 用直尺和圆规,过点$B$作$AC$的垂线交$AC$于点$E$,交$AB$边上的高$CD$于点$F.(只保留作图痕迹)$ 已知:如图,在锐角$\triangle ABC$中,$BE\bot

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在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=45^{\circ}$.点$D($与点$B$、$C$不重合）为射线$BC$上一动点,连接$AD$,以$AD$为一边且在$AD$的右侧作正方形$ADEF$. $(1)$如果$AB=AC$.如图①,且点$D$在线段$BC$上运动.试判断线段$CF$与$BD$之间的位置关系,并证明你的结论. $(2)$如果$AB \gt AC$,如图②,且点$D$在线段$BC$上运动.（1）中结论是

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如图,正方形$ABCD$的边长为$2$,点$E$、$F$分别在边$DC$、$BC$上,且$CF=DE$,$AE$平分$\angle CAD$,连接$DF$,分别交$AE$、$AC$于点$G$,$M$.有下列四个结论:①$AE$垂直平分$DM$；②$CF^{2}=GE\cdot AE$；③$S_{△ADM}=2\sqrt{2}$.其中正确的是（ ）

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