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如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCD$的对角线$AC$的中点与坐标原点重合,点$E$是$x$轴上一点,连接$AE$、$BE$,若$AD$平分$\angle OAE$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \lt 0,x \lt 0)$的图象经过$AE$上的点$A$、$F$,且$AF=EF$,$\triangle ABE$的面积为$18$,则$k$的值为______.

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按要求解下列方程: $(1)x^{2}-6x+8=0(配方法)$； $(2)2x^{2}-5x+1=0(公式法)$.

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用适当的方法解下列方程: $(1)x^{2}-6x+5=0$； $(2)\left(x-2\right)^{2}+12=4x$.

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如图,$P$是$\odot O$外一点,过$P$引$\odot O$的切线$PA$、$PB$,若$\angle APB=50^{\circ}$,则$\angle AOB=$______度.

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定义:$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$I$为$\triangle ABC$的内心,若$I$关于该三角形某条边的对称点恰好在$\odot O$上,则称$\triangle ABC$为$\odot O$的"完美三角形". 【初步认识】下列$\odot O$内接三角形一定是$\odot O$的"完美三角形"的有______$(填序号)$: ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为$30^{\circ}$的直角三角

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如图,矩形$ABCD$中,$O$为$AC$中点,过点$O$的直线分别与$AB$、$CD$交于点$E$、$F$,连结$BF$交$AC$于点$M$,连结$DE$、$BO$.若$\angle COB=60^{\circ}$,$FO=FC$,则下列结论:①$FB\bot OC$,$OM=CM$；②$\triangle EOB$ ≌ $\triangle CMB$；③四边形$EBFD$是菱形；④$S_{\triangle AOE}$:$S_{\t

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在矩形$ABCD$中,$AB=8cm$,$BC=16cm$,$E$、$F$分别是$AD$、$BC$上两点,并且$EF$垂直平分$AC$,垂足为$O$. $(1)$连接$AF$、$CE$.说明四边形$AFCE$为菱形； $(2)$求$AF$的长.

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以▱$ABCD$对角线的交点$O$为原点,平行于$BC$边的直线为$x$轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若$A$点坐标为$\left(-2,1\right)$,则$C$点坐标为____.

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如图,从点$M\left(0,3\right)$发出一束光,经$x$轴反射,过点$N\left(6,5\right)$,则这束光从点$M$到点$N$所经过的路径的长为（ ）

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如图,$\odot O$是等腰$\triangle ABC$的外接圆,$AB=AC=10$,$BC=12$.求$\odot O$的半径.

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如图,点$C$、$D$分别在$\angle AOB$的两边上. $(1)$尺规作图:求作$\odot P$,使它与$OA$、$OB$、$CD$都相切（不写作法,保留作图痕迹）； $(2)$若$\angle AOB=90^{\circ}$,$OD=5$,$CD=13$,则$\odot P$的半径为______.

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如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中$,AB=CD,AB$ ∥ $CD.$求证:四边形$ABCD$是矩形.

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如图,$\triangle ABC$中,点$O$为$AC$边上的一个动点,过点$O$作直线$MN$ ∥ $BC$,设$MN$交$\angle BCA$的外角平分线$CF$于点$F$,交$\angle ACB$内角平分线$CE$于$E$. $(1)$试说明$EO=OF$； $(2)$当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形并证明你的结论； $(3)$在（2）的条件下猜想$\triangle ABC$满足什么条件能使四边形$AECF

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如图,顺次连接四边形$ABCD$各边中点得四边形$EFGH$,要使四边形$EFGH$为矩形,应添加的条件是（ ）

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在学习等腰三角形的性质时,林林进一步探究发现:三角形一个角的平分线与其对边的高重合时,这个三角形是等腰三角形.他通过证明三角形全等得到结论.请根据他的思路完成以下作图与填空: $(1)$用直尺和圆规,作$\angle BAC$的角平分线交$BC$于$D.(只保留作图痕迹)$ $(2)$已知:如图:在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的角平分线,$AD\bot BC$. 求证:$AB=AC$. 证明:$\

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已知$\odot O$的半径为$5$,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\angle BAC=\angle DAC=45^{\circ}$. $(Ⅰ)$如图①,若$AB=6$,求弦$AD$和$BC$的长； $(Ⅱ)$如图②,连接$OA$,若$\angle ACB=2\angle ACD$,求弦$AB$的长和$\angle OAC$的大小.

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如图,$\odot O$的半径为$5$,$AB$为弦,点$C$为$\widehat {AB}$的中点,若$\angle ABC=30^{\circ}$,则弦$AB$的长为______.

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已知$OA$为$\odot O$的半径,$AB$、$AC$为$\odot O$的弦,$\angle BAO=\angle CAO$. $(1)$如图$1$,求证:$AB=AC$； $(2)$如图$2$,点$D$为弧$AC$上一点,连接$BC$、$AD$、$CD$、$BD$,$AD+CD=BD$,求证:$\angle BAO=30^{\circ}$； $(3)$如图$3$,在（2）的条件下,延长$AO$交$\odot O$于点$G$,$\

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如图,$\odot O$的直径$AB=12$,半径$OC\bot AB$,$D$为弧$BC$上一动点（不包括$B$、$C$两点）,$DE\bot OC$,$DF\bot AB$,垂足分别为$E.F$. $(1)$求$EF$的长. $(2)$若点$E$为$OC$的中点, ①求弧$CD$的度数. ②若点$P$为直径$AB$上一动点,直接写出$PC+PD$的最小值.

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先化简,再求值:$({\frac{{x-1}}{x}-\frac{{x-2}}{{x+1}}})÷\frac{{2{x^2}-x}}{{{x^2}+2x+1}}$,其中$x$满足$x^{2}-2x-2=0$.

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