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21.(本小题12分) 如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$、$D$在圆上，$D$是$\odot_{AC}$的中点，$DE \perp AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，$AC$、$DB$交于点$G$，$H$在$AB$延长线上且$\angle BCH = \angle CAB$。 (1)求证： $ CH $为 $ \odot O $的切线. (2)求证：AF=DF. (3)若DG = 2，GB = 3，求AD的长.

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如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在圆上取点E，使 $ \widehat{CE} = \widehat{CB} $，连接CE，BE. (1)求证： $ \angle ACD + \angle CBE = 90^\circ $； (2)若 $ \sin A = \frac{5}{6} $， $ OD = 7 $，求 $ \odot O $的半径和 $ BE $的长.

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如图，$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD \perp AB$，垂足为$H$.$E$为$\bigcirc\sim$上一点，连结$AE$交$CD$于点$F$，$EF$的垂直平分线交$CD$的延长线于点$G$，连结$GE$. (1)若 $ \odot O $的半径为3， $ AH=2 $，求CD的长； (2)求证：EG是 $ \odot O $的切线.

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(本小题11分) 如图1，等边$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$D$为$BC$中点，连接$OD$并延长交$\odot O$于点$E$，作$EM//BC$ 图1 图2 (1)求证：EM是 $ \odot O $的切线. (2) 如图2，点 $ F $为射线 $ EM $上的动点，连接 $ FB $并延长与 $ \odot O $的优弧 $ BAC $交于点 $ P $（与点 $ B $， $ C $不重合），连接

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如图，AB为\( \odot O​\)直径，弦\( CD\perp AB​\)于E，\( OB=CD=2​\)，则OE长为$(\quad)$

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已知：⊙O 上两个定点 A, B 和两个动点 C, D, AC 与 BD 交于点 E. （1）如图1，求证： $ EA\cdot EC=EB\cdot ED $； （2）如图2，若 $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC} $，AD是 $ \odot O $的直径，求证： $ AD\cdot AC=2BD\cdot BC $； （3）如图3，若 $ AC\bot BD $，点O到AD的距离为2，

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如图，在$\odot O$中，点$A$为$\odot O$上一点，点$D$是$\underset{AC}{\frown}$的中点，$BC$是$\odot O$的直径。过点$A$作$\odot O$的切线交$BC$的延长线于点$E$，连接$OD$并延长交$AE$于点$F$，连接$CF$。 (1)求证：CF与 $ \odot O $相切； (2) 若 $ AF : EF = 1 : 2 $, $ CF = 2 $, 求阴影部分的面积.

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如图，在锐角△ABC中，AB=AC，过点B作BD∥AC交△ABC的外接圆⊙O于点D．连接CD，延长CD交AB的延长线于点E． （1）求证： $ ED = EB $； （2）若 AB = 6，BE = 4，求 $ \cos E $ 的值； （3）若 $ AB:BC=5:6 $，BD=22，求 $ \odot O $ 的半径. 备用图

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我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目:"今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?"大意是:如图,木柱$AB\bot BC$,绳索$AC$比木柱$AB$长$3$尺,$BC$长为$8$尺,求绳索$AC$长为多少?设绳索$AC$长为$x$尺,根据题意,可列方程为（ ）

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用适当方法解下列方程 $\left(1\right)x^{2}-9=0$； $\left(2\right)x^{2}+4x-3=0$ $\left(3\right)\left(x-2\right)^{2}=3\left(x-2\right)$ $\left(4\right)\left(x+3\right)^{2}=\left(2x-1\right)^{2}$

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$. $(1)$求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根； $(2)$若方程的两实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,且满足$x_{1}=4x_{2}$,试求出$p$的值.

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已知二次函数$y=2x^{2}-4x-6$. $(1)$用配方法将上述二次函数的表达式化为$y=a\left(x+h\right)^{2}+k$的形式； $(2)$画出此函数的图象（不用列表）,并直接写出当$y \lt 0$时$x$的取值范围.

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已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$. $(1)$求二次函数$y=x^{2}-2x-3$图象的顶点坐标； $(2)$在平面直角坐标系$xOy$中,画出二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象； $(3)$结合图象直接写出自变量$0\leqslant x\leqslant 3$时,函数的最大值和最小值.

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若点M（-2,y 1 ）,N（-1,y 2 ）,P（8,y 3 ）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x 2 +2x上,则下列结论正确的是（ ）

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腰长为$5$,高为$4$的等腰三角形的底边长为______.

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一次函数$y=-3x+5$的图象不经过的象限是（ ）

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已知二次函数$y=-x^{2}+bx+1$与正比例函数$y=2x$的两个交点关于原点对称,当$n-1\leqslant x\leqslant n$时,二次函数$y=-x^{2}+bx+1$的最大值是$-2$,则$n$的值是（ ）

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在同一坐标系中,一次函数$y=ax-b$与二次函数$y=-ax^{2}-b$的图象可能是（ ）

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若函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、三象限,则二次函数$y=ax^{2}+b$的大致图象是（ ）

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已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$. $(1)$求该二次函数的顶点坐标； $(2)$在平面直角坐标系$xOy$中,画出二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象； $(3)$结合函数图象,直接写出当$-1\leqslant x\leqslant 2$时,$y$的取值范围.

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