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如图所示,$\odot O$的两弦$AB$、$CD$交于点$P$,连接$AC$、$BD$,得$S_{\triangle ACP}$:$S_{\triangle DBP}=16:9$,则$AC:BD=\_\_\_\_\_\_.$

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在同一坐标系中画出函数\(y=2x^{2}\)和\(y=-\dfrac{1}{2}x^{2}\)的图象.

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若$\triangle ABC$ ∽ $\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$,$AB:{A\’}{B\’}=3:5$,$\triangle ABC$的面积为$9cm^{2}$,则$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的面积为______$cm^{2}$.

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根据下列条件分别求\(a\)的取值范围. \((1)\)抛物线\(y=(a+2)x^{2}\)与\(y=-\dfrac{1}{2}x^{2}\)的形状相同，开口向下\(;\) \((2)\)函数\(y=a{x}^{{a}^{2}+a}\)的图象是开口向上的抛物线\(;\) \((3)\)函数\(y=(a-2)x^{2}\)，当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小，当\(x \((4)\)函数\(y=(3a-2)x^{2}

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如图,$\odot O$是$Rt\triangle ABC$的外接圆,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$,且交$\odot O$于点$D$,过点$D$作$DE$ ∥ $BC$,交$AB$的延长线于点$E$,连接$BD$、$CD$. $(1)$求证:$DE$是$\odot O$的切线； $(2)$若$AB=8$,$AC=6$,求$BD$的长.

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函数$y=|ax^{2}+bx+c|(a \gt 0$,$b^{2}-4ac \gt 0)$的图象（如图所示）是由函数$y=ax^{2}+bx+c(a \gt 0$,$b^{2}-4ac \gt 0)$的图象$x$轴上方部分不变,下方部分沿$x$轴向上翻折而成,则下列结论:①$2a+b=0$；②$c=-3$；③$abc \lt 0$；④将图象向上平移$1$个单位长度后与直线$y=5$有$3$个交点,其中正确的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=45^{\circ}$,$AD\bot BC$于点$D,DE$ ∥ $AC$交$AB$于点$E$,$EF\bot BC$于点$F$,连接$EC$. $(1)$如图$1$,若$\tan B=2$,$AC=9\sqrt{2}$,求$DE$的长； $(2)$如图$2$,若$\angle BAD=2\angle ECB$,求证:$AE=2DF$； $(3)$如图$3$,点$M$为

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若$A\left(-4,m-2\right)$,$B\left(-2,m\right)$,$C\left(2,m\right)$三点在同一函数图象上,则该函数图象可能是（ ）

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关于二次函数\(y=3x^{2}\)，下列说法不正确的是\((\quad)\)

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如图,在矩形$ABCD$中,点$E$为$CD$的中点,连接$BE$,过点$A$作$AF\bot BE$,垂足为$F$. $(1)$求证:$\triangle ABF$ ∽ $\triangle BEC$； $(2)$若$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{3}$,$EF=4$,求$AB$的长.

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如图,在▱$ABCD$中,$CD=2AD$,$BE\bot AD$于点$E$,$F$为$DC$的中点,连结$EF$,$BF$.有下列四个结论①$\angle ABC=2\angle ABF$；②$EF=BF$；③$S_{四边形DEBC}=2S_{\triangle EFB}$；④$\angle CFE=4\angle DEF$.其中正确的是（ ）

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在同一直角坐标系内，函数\(y=kx^{2}\)和\(y=kx-2(k\neq 0)\)的图象大致是\((\quad)\)

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如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①\(y=a{x}^{2}\)；②\(y=b{x}^{2}\)；③\(y=c{x}^{2}\)；④\(y=d{x}^{2}.\)比较\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)的大小，用“\(>\)”连接为__________.

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\((1)\)在同一直角坐标系中，画出函数\(y=2x^{2}\)，\(y=\dfrac{1}{2}x^{2}\)，\(y=-2{x}^{2}\)与\(y=-\dfrac{1}{2}x^{2}\)的图象. \((2)\)观察\((1)\)中所画的图象，回答下列问题： \(①\)由图象可知抛物线\(y=2x^{2}\)与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于__________轴对称\(;\)同样，抛物线\(y=\dfrac

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已知二次函数\(y=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x.\) \((1)\)用配方法将\(y=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x\)化成\(y=a(x-h)^{2}+k\)的形式； \((2)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，画出这个二次函数的图象． \((3)\)观察图象，直接写出当\(0< y< 6\)时，\(x\)的取值范围是______.

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=8$,$Q$是矩形$ABCD$左侧一点,连接$AQ$、$BQ$,且$\angle AQB=90^{\circ}$,连接$DQ$,$E$为$DQ$的中点,连接$CE$,则$CE$的最大值为______.

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$D$是斜边$AB$上的中点,$E$是边$BC$上的点,$AE$与$CD$交于点$F$,且$AC^{2}=CE\cdot CB$. $(1)$求证:$AE\bot CD$； $(2)$连接$BF$,如果点$E$是$BC$中点,求证:$\angle EBF=\angle EAB$.

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如图,已知点$D$、$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$、$AC$上$,DE$ ∥ $BC,$点$F$在$CD$的延长线上$,AF$ ∥ $BC,$则下列结论错误的是（ ）

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已知:如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$BC$、$AB$上,$BD=AD=AC$,$AD$与$CE$相交于点$F$,$AE^{2}=EF\cdot EC$. $(1)$求证:$\angle ADC=\angle DCE+\angle EAF$； $(2)$求证:$AF\cdot AD=AB\cdot EF$.

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如图,在梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$、$BC=3AD$,对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,$EF$是梯形的中位线,$EF$与$BD$、$AC$相交于点$G$、$H$,如果$\triangle OGH$的面积为$1$,那么$\triangle ABD$的面积为（ ）

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