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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(2m+1\right)x+m^{2}+m=0$. $(1)$求证:无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根； $(2)$设该方程的两个实数根为$a$,$b$,若$\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)=20$,求$m$的值.

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如图,在正方形$ABCD$中,$E$是边$AD$上的点,点$F$在边$CD$上,且$CF=3FD$,$\angle BEF=90^{\circ}$ $(1)$求证:$\triangle ABE$ ∽ $\triangle DEF$； $(2)$若$AB=6$,延长$EF$交$BC$的延长线于点$G$,求$BG$的长.

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如图,在平行四边形$ABCD$中,点$G$在边$DC$的延长线上,$AG$交边$BC$于点$E$,交对角线$BD$于点$F$. $(1)$求证:$AF^{2}=EF\cdot FG$； $(2)$如果$EF=\frac{3}{2}$,$FG=\frac{8}{3}$,求$\frac{BE}{EC}$的值.

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若$\alpha $,$\beta $是方程$x^{2}+2x-2024=0$的两个实数根,则$\alpha ^{2}+3\alpha +\beta $的值为（ ）

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已知:如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,且$\angle ABE=\angle ACD$,$BE$、$CD$交于点$G$. （1）求证:$\triangle AED$ ∽ $\triangle ABC$； （2）如果$BE$平分$\angle ABC$,求证:$DE=CE$.

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如图,在正方形$ABCD$中,$E$是$CD$边上一点且满足$\angle CBE=30^{\circ}$,将$\triangle BCE$沿$BE$折叠得到$\triangle BC\’E$,${C\’}E$与对角线$BD$交于点$F$,则$\frac{DF}{BF}$的值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$为边$BC$上的点,连结$AD$,作$\angle ADE=\angle C$,使边$DE$交$AB$于点$E$. $(1)$求证:$\triangle BDE$ ∽ $\triangle CAD.$ $(2)$若$AB=16$,$DB=4$,$CD=9$,求$BE$的长.

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如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$AD$为直径,过点$C$作$AB$的垂线,垂足为点$E$,连接$AC$. $(1)$求证:$\angle CAD=\angle ECB$； $(2)$连结$OC$,若$OC$ ∥ $AB,\angle EAD=60^{\circ}$,$AD=4$,求$AD$、$AC$、$\widehat {CD}$围成的阴影部分的面积.

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$Rt\triangle ABC$两直角边之比为$3:4$,如果$\triangle DEF$与$\triangle ABC$相似,$\triangle DEF$最短边长为$20$,那么$\triangle DEF$的斜边长为______.

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如图$,Rt\triangle ABC$ ≌ $Rt\triangle DEF,\angle C=\angle F=90^{\circ}$,$AC=2$,$BC=4$,点$D$为$AB$的中点,点$E$在$AB$的延长线上,将$\triangle DEF$绕点$D$顺时针旋转$\alpha $度$\left(0 \lt \alpha\ \ \lt 180\right)$得到$\triangle DE\’F$,当$\triangle BD

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如图,已知在直角$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$E$为$AC$边上一点,连接$BE$,过$E$作$ED\bot AC$,交$BC$边于点$D$. $(1)$如图$1$,连接$AD$,若$CE=2$,$BD=3\sqrt{2}$,$\angle C=45^{\circ}$,求$\triangle ADE$的面积； $(2)$如图$2$,作$\angle ABC$的角平分线交$AC$于点$

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是边$AB$,$AC$上的点$,DE$ ∥ $BC,AD:DB=2:1,$下列结论中错误的是（ ）

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如图,$\triangle ABC$为等边三角形,点$D$,$E$分别在边$BC$,$AB$上,且$\triangle ACD$ ∽ $\triangle DBE.$若$BD=4$,$DC=1$,求$\angle ADE$的度数和线段$BE$的长.

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如图,已知$\odot O$的半径为$3$,平面内有一点到圆心$O$的距离为$4$,则该点可能是（ ）

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用适当的方法求解下列方程:$x^{2}+x-6=0$.

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如图,在四边形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC,AB\bot BC,$点$E$在$AB$上,$\angle DEC=90^{\circ}$. $(1)$求证:$\triangle ADE$ ∽ $\triangle BEC.$ $(2)$若$AD=1$,$BC=3$,$AE=2$,求$AB$的长.

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如图$,DE$ ∥ $BC,AD:DB=2:3,EC=6,$则$AE$的长是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,延长$AD$到点$E$,使得$DE=AD$,连接$CE$,若$AC=2AB$,$CE=2\sqrt{6}$,则$BD= \_\_\_\_\_\_.$

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两个相似三角形的相似比为$2:5$,周长之差为$27cm$,则较大三角形的周长为______$cm.$

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如图,点$D$、$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$、$AC$上,下列各比例式不一定能推得$DE$ ∥ $BC$的是（ ）

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