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如图,$\odot O$的弦$AB$垂直于$AC$,$AB=6cm$,$AC=4cm$,则$\odot O$的半径等于______$cm.$

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解下列一元二次方程: $(1)x^{2}-2x-4=0(请用配方法)$； $(2)3\left(x+1\right)^{2}=2\left(x+1\right)$.

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用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x+1=0$,配方正确的是（ ）

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已知二次函数$y=ax^{2}-2x-2(a$为常数,$a\neq 0)$,点$P\left(m,n\right)$是该函数图象上一点.当$0\leqslant m\leqslant 2$时,$n\leqslant -2$,则$a$的取值范围是______.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$OD$交$AC$于点$E$,$\widehat {AD}=\widehat {CD}$. $(1)$求证:$OD//BC$； $(2)$若$AC=8$,$DE=2$,求$BC$的长.

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如图,以$\triangle ABC$的$BC$边上一点$O$为圆心的圆经过$A$、$B$两点,且与$BC$边交于点$E$,$OD\bot BE$,连接$AD$交$BC$于点$F$,若$AC=FC$. $(1)$求证:$AC$是$\odot O$的切线； $(2)$若$\odot O$的半径是$6$,$\angle ADB=60^{\circ}$,求图中阴影部分的面积（结果保留根号和$\pi )$.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$AC$的垂线.垂足为$E$,延长$ED$交$AB$的延长线于点$F$. $(1)$判断直线$DE$与$\odot O$的位置关系,并说明理由； $(2)$如果$AB=10$,$BC=12$,求$DE$的长.

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图$1$是第七届国际数学教育大会$\left(ICME\right)$会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图$2$所示的四边形$OABC$.若$AB=BC=1$,$\angle AOB=\alpha $,则$OC^{2}$的值为（ ）

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河堤横断面如图所示,堤高$BC=9$米,迎水坡$AB$的坡比为$1$:$\sqrt{3}$,则$AB$的长为（ ）

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解分式方程:$\frac{x}{2x-1}+\frac{5}{1-2x}=2$.

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"筒车"是一种以水流作动力,取水灌田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有$1000$多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 如图,"筒车"盛水筒的运行轨迹是以轴心$O$为圆心的圆,已知圆心$O$在水面上方,且当圆被水面截得的弦$AB$为$6$米时,水面下盛水筒的最大深度为$1$米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离). $(1)$求该圆的半径； $(2)$若水面上涨导致圆被水面截得的弦$AB$从原来的$6$米变

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在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为"等垂弦",如图①,$AB$、$CD$是$\odot O$的弦,如果$AB=CD$,$AB\bot CD$,垂足为$E$,则$AB$、$CD$是等垂弦. $(1)$如图②,$AB$是$\odot O$的弦,作$OC\bot OA$、$OD\bot OB$,分别交$\odot O$于点$C$、$D$,连接$CD$,求证:$AB$、$CD$是$\odot O$的等垂弦； $(2)$在图①中,$\odo

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如图，\(AB\)是半圆\(O\)的直径，\(C\)，\(D\)是半圆\(O\)上不同于\(A\)，\(B\)的两点，\(AC\)平分\(∠DAB\)，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(F\)，延长\(AC\)到点\(E\)，使\(CE=CF.\) \((1)\)求证：\(BE\)是半圆\(O\)所在圆的切线； \((2)\)若\(BC=AD=4\)，求\(⊙O\)的半径．

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已知，如图，\(BE\)是\(⊙O\)的直径，\(BC\)切\(⊙O\)于\(H\)，弦\(ED/\!/OC\)，连结\(CD\)并延长交\(BE\)的延长线于点\(A.\) \((1)\)证明：\(CD\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)求证：\(DE\boldsymbol{⋅}OC=\dfrac{1}{2}BE^{2}.\)

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如图，在\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90°\)，\(⊙O\)与\(AC\)，\(BC\)分别相切于点\(D\)，\(E\)，\(AO\)平分\(∠BAC\)，连接\(BO.\) \((1)\)求证：\(AB\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(AD=BC=3\)，\(⊙O\)的半径为\(1\)，求阴影部分的面积．

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某超市以每千克$40$元的价格购进一种干果,计划以每千克$60$元的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量$y(千克)$与每千克降价$x($元$)\left(0 \lt x \lt 20\right)$之间满足一次函数关系,其图象如图所示. $(1)$求$y$与$x$之间的函数关系式； $(2)$当每千克干果降价$3$元时,超市获利多少元? $(3)$若超市要想获利$2090$元,且让顾客获得更大实惠,这种干果

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某文具店新进一批体育中考专用排球,每个排球的进价为$40$元,原计划以每个$60$元的价格销售,为更好地满足学生的需求,现决定降价销售,已知这种排球销售量$y(个)$与每个排球降价$x($元$)\left(0 \lt x \lt 20\right)$之间满足一次函数关系,其图象如图所示: $(1)$求$y$与$x$之间的函数关系式； $(2)$在这次排球销售中,该文具店获利$1760$元,这种排球每个的实际售价多少元?

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若函数$y=\frac{k}{x}$为反比例函数,则$k$的值不可能为（ ）

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在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k$为常数,$k\neq 0)$的图象可能是（ ）

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已知$a$为正实数,$x_{1}$,$x_{2}$是方程$x^{2}-ax-a=0$的两个根,则（${x}_{1}^{2}-1)({x}_{2}^{2}-1)=\left(\ \ \right)$

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