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已知$A(-1$,$y_{1})$,$B(1$,$y_{2})$,$C(4$,$y_{3})$三点都在二次函数$y=2\left(x-1\right)^{2}$的图像上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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点$E$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上一点,过点$E$作$EF\bot AE$交$CD$于点$F$,$AE$的延长线交$BC$于点$G$,$AF$交$BD$于点$H$. $(1)$如图$1$,证明:$AE=EF$； $(2)$如图$2$,若$AD=DE$,$AB=2$,求$CF$的长.

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抛物线$y=-x^{2}+bx+c$过点$\left(0,-3\right)$和$\left(2,1\right)$. $(1)$求$b$,$c$的值； $(2)$直接写出抛物线的顶点坐标； $(3)$当$-3\leqslant x \lt 0$时,结合函数图象,求$y$的取值范围.

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如图,已知二次函数$y=ax^{2}-4x+c$的图象经过点$A\left(-1,-1\right)$和点$B\left(3,-9\right)$. $(1)$求该二次函数的解析式； $(2)$写出该二次函数图象的对称轴______,顶点坐标______； $(3)$点$C\left(m,m\right)($其中$m \gt 0)$与点$D$均在该函数图象上,且这两点关于函数图象的对称轴对称,求$m$的值及点$D$的坐标.

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若函数$y=\left(m-3\right)x^{2}-4x+2$的图象与$x$轴只有一个交点,则$m$的值是（ ）

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如图,二次函数$y=ax^{2}+4x+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$A\left(-1,0\right)$,$C\left(0,5\right)$. $(1)$求二次函数的表达式,并求出点$B$的坐标. $(2)$连接$BC$,现将抛物线图象向下平移$m$个单位,使得顶点落在线段$BC$上,请求出$m$的值.

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下列关于二次函数$y=-3\left(x-2\right)^{2}-3$的说法,正确的是（ ）

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,把$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转到$\triangle A_{1}B_{1}C$的位置,$A_{1}B_{1}$交直线$CA$于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,当线段$CD$的长为______时,$\triangle A_{1}CD$是等腰三角形.

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如图,点$E$是▱$ABCD$的边$AD$上的一点,且$DE:AE=1:2$,连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$,若$DE=3$,$DF=4$,则▱$ABCD$的周长为（ ）

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下列命题一定正确的是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=2AC$,$D$,$E$分别是边$BA$,$BC$的中点,连接$DE$.将$\triangle BDE$绕点$B$顺时针旋转$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}\right)$得到$\triangle BFG$,点$D$的对应点是点$F$,连接$AF$,$CG$. $(

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如图,在正方形$ABCD$中,点$M$是边$BC$上的一点（不与$B$、$C$重合),点$N$在边$CD$延长线上,且满足$\angle MAN=90^{\circ}$,联结$MN$,$AC$,$MN$与边$AD$交于点$E$. $(1)$求证:$AM=AN$； $(2)$如果$\angle CAD=2\angle NAD$,求证:$AM^{2}=\sqrt{2}AB\cdot AE$； $(3)MN$交$AC$点$O$,若$\frac

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如图,$AD$与$BC$相交于点$O$,可添加一个条件:______,使得$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似.

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如图,在$Rt\triangle ABC$内有边长分别为$a$,$b$,$c$的三个正方形,则$a$,$b$,$c$满足的关系式是（ ）

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如图,梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$,点$E$是边$AD$的中点,连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$,交$AC$于点$G$. $(1)$若$FD=2$,$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{3}$,求线段$DC$的长； $(2)$求证:$EF\cdot GB=BF\cdot GE$.

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如图,已知在等腰$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AD$为$BC$边的中线,过点$C$作$CE\bot AD$于点$E$,交$AB$于点$F$.若$AC=2$,则线段$EF$的长为（ ）

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如图,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC=2\sqrt{2}$,$D$为线段$AC$的中点,在$BC$上任意取一点$P$,连接$AP$,将线段$AP$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$AP\’$,$DP\’$的最小值为______.

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已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． （1）求证：BE=DG； （2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$BC=8$,点$P$为$AB$上一点,过点$P$作$PQ$ ∥ $BC$交$AC$于点$Q$.设$AP$的长度为$x$,点$P$,$Q$的距离为$y_{1}$,$\triangle ABC$的周长与$\triangle APQ$的周长之比为$y_{2}$. $(1)$请直接写出$y_{1}$,$y_{2}$分别关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围； $(2)$在给

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如图,在钝角三角形$ABC$中,$AB=6cm$,$AC=12cm$,动点$D$从$A$点出发到$B$点止,动点$E$从$C$点出发到$A$点止.点$D$运动的速度为$1cm/$秒,点$E$运动的速度为$2cm/$秒.如果两点同时运动,那么当以点$A$、$D$、$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似时,运动的时间是（ ）

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