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如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC=4$,点$P$从$B$点出发,沿射线$BC$方向以每秒$1$个单位的速度向右运动,连结$AP$,设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$. $(1)$当$t=5$秒时,求$AP$的长度； $(2)$用含$t$的代数式表示线段$PC$的长度； $(3)$当$AP$分$\triangle ABC$的

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如图所示,在四边形$ABCD$中,已知:$AB$ ∥ $CD,AD=BC,\angle A=\angle B=90^{\circ}$,$E$是$AB$上一点,且$DE=DC$,过点$C$作$CF\bot DE$,垂足为点$F$. $(1)$证明:$DA=CF$； $(2)$猜想:$EB$与$EF$的大小关系,请证明你的猜想.

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如图,在▱$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,过点$O$的直线分别交$CB$,$AD$的延长线于点$E$,$F$,$BE$与$DF$相等吗?为什么?

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如图,正方形$ABCD$中,$P$为$CD$上一点,线段$AP$的垂直平分线$MN$交$BD$于$N$,$M$为垂足,交正方形的两边于$E$、$F$,连接$PN$,则下列结论:①$\angle APN=45^{\circ}$；②$PC=\sqrt{2}BN$；③$\angle DNF=\angle DAP$；④$MN=MF+NE$,其中正确的是（ ）

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已知一次函数的图象经过点$\left(3,1\right)$和$\left(0,-2\right)$. $(1)$求该一次函数的表达式； $(2)$平移上面函数图象,使它经过点$\left(-3,5\right)$,求出平移后的直线表达式.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$AE=BF$.求证: $(1)DE=DF$； $(2)\triangle DEF$为等腰直角三角形.

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如图,在▱$ABCD$中,点$N$、$M$分别在边$AB$、$CD$上,若$\angle BCN=\angle DAM$.求证:$BN=DM$.

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已知在四边形$ABCD$中,$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$,$AB=BC$. $(1)$如图$1$,若$\angle BAD=90^{\circ}$,$AD=2$,求$CD$的长度； $(2)$如图$2$,点$P$、$Q$分别在线段$AD$、$DC$上,满足$PQ=AP+CQ$,①求证:$PB$平分$\angle APQ$.②求证:$\angle PBQ=90^{\circ}-\frac{1}{2

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如图,点$P$为定角$\angle AOB$平分线上的一个定点,且$\angle MPN$与$\angle AOB$互补.若$\angle MPN$在绕点$P$旋转的过程中,其两边分别与$OA$、$OB$相交于$M$、$N$两点,则以下结论:①$OM+ON$的值不变；②$\angle PNM=\angle POB$；③$MN$的长不变；④四边形$PMON$的面积不变,其中,正确结论的是（ ）

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已知,如图,点$D$在等边三角形$ABC$的边$AB$上,点$F$在边$AC$上,连接$DF$并延长交$BC$的延长线于点$E$,$EF=FD$. 求证:$AD=CE$.

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如图,线段$AB$与$CD$相交于点$O$,且$\angle BOD=60^{\circ}$,连接$AC$,分别将$AB$和$AC$平移到$CC\’$,$BC\’$的位置.若$AB=CD=a$,连接$DC\’$,则$DC\’$的长为（ ）

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如图,已知等边$\triangle ABC$和等边$\triangle BPE$,点$P$在$BC$的延长线上,$EC$的延长线交$AP$于点$M$,连接$BM$；下列结论:①$AP=CE$；②$\angle PME=60^{\circ}$；③$BM$平分$\angle AME$；④$AM+MC=BM$,其中正确的有（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,过点$B$作射线$BE$,过点$C$作射线$CF$,使$\angle ABE=\angle ACF$,且射线$BE$、$CF$交于点$D$,过点$A$作$AM\bot BD$于点$M$.求证:$BM=DM+DC$.

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如图,等边$\triangle ABC$中,$D$为$AC$中点,点$P$、$Q$分别为$AB$、$AD$上的点,且$BP=AQ=4$,$QD=3$,在$BD$上有一动点$E$,则$PE+QE$的最小值为（ ）

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已知:在平面直角坐标系中,放入一块等腰直角三角板ABC,∠BAC=90°,AB=AC,A点的坐标为（0,a）,B点的坐标为（b,0）．且a,b满足b=$\sqrt{a-2}$$+\sqrt{2-a}$+4,D的坐标为（-2.1,0）． （1）如图1,求C点的坐标； （2）在前面的条件下作等腰Rt△ADE,使AD=EA,∠EAD=90°,D点刚好落在x轴的负半轴,连CE交y轴于M．如图2, ①求证ME=MC, ②求△AEC的面积； （3）

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问题引入:课外兴趣小组活动时,老师提出这样的问题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=5$,$AC=3$,求$BC$边上的中线的取值范围.小华在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长$AD$到$E$,使得$DE=AD$,再连接$BE$,把$AB$,$AC$,$2AD$集中在$\triangle ABE$中,利用三角形的三边关系可得$2 \lt AE \lt 8$,则$1 \lt AD \lt 4$.从中他总结出

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如图,在正方形${ABCD}$中,${E}$、${F}$分别是${AB}$、${BC}$边上的点,且${AE= BF}$．（1）求证:${AF\perp DE}$； （2）若${AD= 4}$,${AE= 3}$,求${EP}$的长．

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$BD\bot AC$于$D$,$CE\bot AB$于$E$,$BD$和$CE$交于$O$,$AO$的延长线交$BC$于$F$,则图中全等的直角三角形有（ ）

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已知:如图,$E$、$F$是平行四边形$ABCD$的对角线$AC$上的两点,$AE=CF$.求证:$EB=DF$.

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$\triangle ABC$为等边三角形,$D$为射线$BC$上一点,$\angle ADE=60^{\circ}$,$DE$与$\angle ACB$的外角平分线交于点$E$. $(1)$如图$1$,点$D$在$BC$上,求证:$CA=CD+CE$； $(2)$如图$2$,若$D$在$BC$的延长线上,直接写出$CA$、$CD$、$CE$之间的数量关系,

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