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电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图,在一个斜坡$BD$上按水平距离间隔$60$米架设两个塔柱,每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为$27$米$(AB=CD=27$米),以过点$A$的水平线为$x$轴,水平线与电缆的另一个交点为原点$O$建立平面直角坐标系,如图所示.经测量,$AO=40$米,斜坡高度$12$米（即$B$、$D$两点的铅直高度差). 结合上面信息,回答问题: $(1)$若以$1$米为一个单位

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在同一坐标系中一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象可能为（ ）

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一个抛物线形拱桥,桥底水平面宽度（跨度）是$12$米,拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是$4$米,如图,以水平直线为$x$轴,以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为$y$轴,坐标原点为$O$建立直角坐标系.一艘货船宽度为$6.8$米,装载集装箱后高出水面$2$米.一场大雨后,水面比下雨前上升了$1$米,此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗?请通过计算进行说明.

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已知抛物线$y=-x^{2}-bx+n$经过$\left(-2,0\right)$和$\left(4,0\right)$两点,则$b$的值为（ ）

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设二次函数$y=\left(x+1\right)\left(ax+2a+2\right)(a$是常数,$a\neq 0)$. $(1)$若$a=1$,求该函数图象的顶点坐标. $(2)$若该二次函数图象经过$\left(-1,1\right)$,$\left(-2,3\right)$,$\left(0,-2\right)$三个点中的一个点,求该二次函数的表达式. $(3)$若二次函数图象经过$(x_{1}$,$y_{1})$,$(x_{

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a \gt 0\right)$的对称轴为直线$x=1$,与$x$轴的一个交点为$\left(-1,0\right)$.若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=p\left(p \lt 0\right)$有整数根,则$p$的值有（ ）

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在平面直角坐标系中,直线$y=-3x+3$与$x$、$y$轴分别交于$A$、$B$两点,$C$在$x$轴负半轴上,$CB=5$. $(1)$求$CB$所在直线的解析式； $(2)$已知点$D$为$x$轴上一动点,且满足$\angle CBD=\angle ABO$,求$D$点坐标； $(3)$平面内是否存在点$P$,使得$\triangle PAB\sim \triangle OBC$,求$P$点坐标.

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材料一:如图$1$,由课本$91$页例$2$画函数$y=-6x$与$y=-6x+5$可知,直线$y=-6x+5$可以由直线$y=-6x$向上平移$5$个单位长度得到由此我们得到正确的结论一: 在直线$l_{1}$:$y=k_{1}x+b_{1}$与直线$l_{2}$:$y=k_{2}x+b_{2}$中,如果$k_{1}=k_{2}$且$b_{1}\neq b_{2}$,那么$l_{1}$ ∥ $l_{2}$,反过来,也成立. 材料二:如

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对于抛物线$y=x^{2}-4x+5$. $(1)$顶点坐标为______； $(2)$在坐标系中利用描点法画出此抛物线 $x$ $\ldots $ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $(3)$结合图象直接回答:当$0 \lt x \lt 3$时,则$y$的取值范围是______.

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如图,二次函数$y=ax^{2}-3x+a^{2}-1$的图象经过原点,那么$a$的值是______.

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在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^{2}-2\left(a+1\right)x+3\left(a \gt 0\right)$的对称轴为直线$x=t$. $(1)t= $______(用含$a$的式子表示）； $(2)$已知点$(-\frac{2}{a},{y}_{1})$,$(\frac{5}{a},{y}_{2})$在抛物线上,若$y_{1}=y_{2}$,求出$a$的值； $(3)$已知点$(-2$,$y_{1})$,

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在平面直角坐标系中,对"纵横值"给出如下定义:点$A\left(x,y\right)$是函数图象上任意一点,纵坐标$y$与横坐标$x$的差"$y-x$"称为点$A$的"纵横值".函数图象上所有点的"纵横值"中的最大值称为函数的"最优纵横值".例如:点$A\left(1,3\right)$在函数$y=2x+1$图象上,点$A$的"纵横值"为$3-1=2$,函数$y=2x+1$图象上所有点的"纵横值"可以表示为$y-x=2x+1-x=x+1

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已知点$\left(b,k\right)$在第四象限,则一次函数$y=kx+b$的图象大致是（ ）

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如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,$A$、$B$、$C$、$D$都在格点处,$AB$与$CD$相交于点$P$,则$\cos \angle APC$的值为（ ）

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将二次函数${y}$＝${2(x-2)^{2}}$的图象向左平移${1}$个单位,再向下平移${3}$个单位后所得图象的函数解析式为（ ）

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如图,抛物线$y=x^{2}-2x-3$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,直线$l:y=kx+b$与抛物线交于$A$、$C$两点,其中$C$点的横坐标为$2$. $(1)$求点$C$的坐标和直线$l$的解析式； $(2)$点$P$是$y$轴上的一点,求满足$PB+PC$的值为最小的点$P$坐标； $(3)$点$Q$是直线$l$下方抛物线上一动点,动点$Q$运动到什么位置时

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已知点$(-2$,$y_{1})$,$(-1$,$y_{2})$,$(5$,$y_{3})$都在函数$y=\left(x-3\right)^{2}+1$的图象上,则（ ）

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若二次函数$y=\left(m-1\right)\left(x-1\right)^{2}-1$,在$x \lt 1$时,$y$随$x$的增大而减小,则$m$的取值范围是（ ）

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矩形$ABCD$中,$AB=1$,$O$是$BD$的中点,点$E$在直线$AD$上,且$DE=3$,若$\triangle BOE$与$\triangle DOE$关于直线$OE$对称,则$AD$的长为______.

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下列对二次函数$y=-x^{2}+2x$的图象的描述,正确的是（ ）

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