初中免费试题库，先看题再决定怎么练

已知点$P(x_{0}$,$y_{0})$到直线$y=kx+b$的距离公式为$d=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$,例如:点$\left(2,5\right)$到直线$y=3x+1$的距离为$\frac{|3×2-5+1|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,请根据该公式解决以下问题: ①若点$A\left(3,2\right)$和点$B\left(-1,4\rig

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\angle ACB=60^{\circ}$,$BD\bot AC$,垂足为$D$.若$CD=2$,则$AD$的长为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$CD$是$AB$边上的高,$BE$为角平分线,若$\angle BFC=115^{\circ}$,求$\angle BCF$的度数.

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如图$,\triangle ABC$ ≌ $\triangle {A\’}BC\’,$过点$C$作$CD\bot BC\’$,垂足为$D$,若$\angle ABA\’=55^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为______度.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=5$,$BC=12$,$AD$平分$\angle CAB$交$BC$于$D$点,$E$,$F$分别是$AD$,$AC$上的动点,则$CE+EF$的最小值为______.

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如图,直线$MN\bot PQ$,垂足为$O$,点$A$是射线$OP$上一点,$OA=2$,以$OA$为边在$OP$右侧作$\angle AOF=20^{\circ}$,且满足$OF=4$,若点$B$是射线$ON$上的一个动点（不与点$O$重合）,连接$AB$.作$\triangle AOB$的两个外角平分线交于点$C$,在点$B$在运动过程中,当线段$CF$取最小值时,$\angle OFC$的度数为______.

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【初步探索】 $(1)$如图$1$:在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,且$EF=BE+FD$,探究图中$\angle BAE$、$\angle FAD$、$\angle EAF$之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是:延长$FD$到点$G$,使$DG=BE$.连接$AG$,先证明$\triangle ABE$ ≌

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【探究学习】 规定①:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为"类似三角形". 规定②:从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是"类似三角形",我们把这条线段叫做这个三角形的"完美分割线". 【概念理解】 $(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\ang

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某数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=6$,$AC=8$,$D$是$BC$的中点,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长$AD$到$E$,使$DE=AD$,请补充完整证明"$\triangle ABD$ ≌ $\triangle ECD$"的推理过程. $(1)$求证:$\triangle ABD$ ≌ $\trian

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已知在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,过点$B$引一条射线$BM$,$D$是$BM$上一点. 【问题解决】 $(1)$如图$1$,若$\angle ABC=60^{\circ}$,射线$BM$在$\angle ABC$内部,$\angle ADB=60^{\circ}$,求证:$\angle BDC=60^{\circ}$. 小明同学展示的做法是:在$BM$上取一点$E$使得$AE=AD$.通过已知的条件,从而求得$\

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如图,在$\triangle ABC$中,$BC=5$,高$AD$、$BE$相交于点$O$,$BD=\frac{2}{3}CD$,且$AE=BE$. $(1)$求线段$AO$的长； $(2)$动点$P$从点$O$出发,沿线段$OA$以每秒$1$个单位长度的速度向终点$A$运动,动点$Q$从点$B$出发沿射线$BC$以每秒$4$个单位长度的速度运动,$P$、$Q$两点同时出发,当点$P$到达$A$点时,$P$、$Q$两点同时停止运动.设点

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【阅读材料】 小明同学发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形,小明把具有这种规律的图形称为"手拉手模型". 【材料理解】 $(1)$如图$1$,$\triangle ABC$与$\triangle ADE$都是等腰三角形,$AB=AC$,$AD=AE$,且$\angle BAC=\angle DAE$,则有$\triangle ABD$ ≌ ______；线段$BD$

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如图,已知$\angle A=\angle B$,$AE=BE$,点$D$在$AC$边上,$\angle 1=\angle 2$,$AE$、$BD$相交于点$O$. $(1)$求证:$\triangle AEC$ ≌ $\triangle BED$； $(2)$若$\angle 2=40^{\circ}$,求$\angle C$的度数.

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如图,直线$AB$,$CD$相交于点$O$,$OE\bot AB$,$O$为垂足,$\angle EOD=26^{\circ}$,则$\angle AOC=\_\_\_\_\_\_.$

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已知:$\triangle BAD$ ≌ $\triangle ABC$,$AB=8cm$,$BD=6cm$,$AD=5cm$,则$BC= \_\_\_\_\_\_cm.$

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如图,$AB=AC$,$\angle BAD=\angle CAD$,$\angle B=40^{\circ}$.求$\angle C$的度数.

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圆柱形杯子的高为$18cm$,底面周长为$24cm$,已知蚂蚁在外壁$A$处（距杯子上沿$2cm)$发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿$4cm)$,则蚂蚁从$A$处爬到$B$处的最短距离为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A \lt \angle B$,点$D$为$AB$边上一点且不与$A$、$B$重合,将$\triangle ACD$沿$CD$翻折得到$\triangle ECD$,直线$CE$与直线$AB$相交于点$F$.若$\angle A=40^{\circ}$,当$\triangle DEF$为等腰三角形时,$\angle ACD=\_\_

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,点$P$为边$AC$的垂直平分线$l$上一点.若$BC=1$,则$\triangle BCP$周长的最小值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$BA=BC$,$BD$平分$\angle ABC$,交$AC$于点$D$,点$M$、$N$分别为$BD$、$BC$上的动点,若$BC=4$,$\triangle ABC$的面积为$6$,则$CM+MN$的最小值为______.

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