如图,在平面直角坐标系中,以$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$x$轴于点$M$,交$y$轴于点$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点$P$,若点$P$的坐标为$\left(2a,b+1\right)$,则$a$与$b$的数量关系为______.

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八年级·数学·解答题等腰三角形的判定定理、作图—基本作图

教材$62$页例$1$中介绍了用尺规作图作经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法: $(1)$任意取一点$K$,使点$K$和点$C$在$AB$的两旁； $(2)$以点$C$为圆心,$CK$长为半径作弧,交$AB$于点$D$和$E$； $(3)$分别以点$D$和点$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧相交于点$F$； $(4)$作直线$CF$.则$CF$即为所求作的垂线.请你用已学的知识证明用此方法作的直线

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八年级·数学·选择题线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、圆周角定理I、作图—基本作图

如图,已知直线$l$及直线$l$外一点$P$. $(1)$在直线$l$上取一点$A$,连接$PA$； $(2)$作$PA$的垂直平分线$MN$,分别交直线$l$,$PA$于点$B$,$O$； $(3)$以$O$为圆心,$OB$长为半径画弧,交直线$MN$于另一点$Q$； $(4)$作直线$PQ$. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是（）

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八年级·数学·选择题余角和补角、作图—基本作图

某班开展"用直尺和圆规作角平分线"的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线$OP$为$\angle AOB$的平分线的有（）

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八年级·数学·解答题线段垂直平分线的性质、作图—基本作图

如图,在$\triangle ABC$中,作$\angle BAC$的平分线$AP$,交$BC$于点$P$.在射线$AC$上,截取线段$AD$,使$AD=AB$. $(1)$用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹,不写作法）； $(2)$连接$PD$,求证:$PB=PD$.

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九年级·数学·解答题解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——公式法、解一元二次方程——因式分解法

解方程: $(1)3x^{2}+5x+1=0$； $(2)2x^{2}+x-6=0$.

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九年级·数学·解答题解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——公式法、解一元二次方程——因式分解法

解下列方程 $(1)4x^{2}-1=0$ $(2)x^{2}-4x+3=0(配方法)$ $(3)2x^{2}+x-1=0(公式法)$

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九年级·数学·解答题解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——公式法、解一元二次方程——因式分解法

用指定方法解下列方程: $(1)x^{2}-4x+2=0(配方法)$； $(2)x^{2}+3x+2=0(公式法)$.

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九年级·数学·解答题解一元二次方程——公式法、三角形的中位线定理、勾股定理、勾股定理的性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理的证明、圆的综合题

如图,在矩形$ABCD$中,以$AB$的中点$O$为圆心,以$OA$为半径作半圆,连接$OD$交半圆$O$于点$E$,在$\widehat {BE}$上取点$F$,使$\widehat {AE}=\widehat {EF}$,连接$BF$,$DF$. $(1)$求证:$DF$与半圆$O$相切； $(2)$如果$AB=8,AD=2\sqrt{6}$,求$BF$的长.

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