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用配方法解方程$x^{2}-2x-1=0$时,配方后得的方程为（ ）

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已知二次函数$y=0.5x^{2}-x-0.5$,求顶点坐标.小明的计算过程如下: 解:$y=0.5x^{2}-x-0.5$ $y=0.5(x^{2}-2x)-0.5\ldots \ldots $① $y=0.5(x^{2}-2x+1-1)-0.5\ldots \ldots $② $y=0.5\left(x-1\right)^{2}-1.5\ldots \ldots $③ $\therefore $顶点坐标是$\left(1,-1.5\

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如图,在菱形$ABCD$中,$\angle DAB=60^{\circ}$,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$P$为线段$OB$上一点,连接$CP$,将线段$CP$绕点$P$顺时针旋转,交$AB$延长线于点$Q$. $(1)$求证:$AP=PQ$； $(2)$在$P$点运动过程中,$\angle CPQ$的大小是否发生变化?请说明理由； $(3)$判断线段$DP$与线段$BQ$的数量关系,并证明.

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如图,$AB$为$\odot O$的直径,且$AB=4$,弦$CD\bot AB$于点$E$,将$\widehat {CBD}$沿$CD$翻折后交$AB$于点$F$,若$F$为$AO$中点,则$CD=\_\_\_\_\_\_.$

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已知:如图,$CD$是$\odot O$的直径,$AC$、$AB$、$BD$是$\odot O$的弦$,AB$ ∥ $CD.$ $(1)$求证:$AC=BD$； $(2)$如果$\odot O$的直径为$10$,弦$AB$长为$8$,求$AB$、$CD$两条平行线之间的距离.

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如图,在$\triangle ABC$中.$\angle BAC=90^{\circ}$；,点$E$是$AB$上一点,以$AE$为直径的$\odot O$经过点$D$.且$AC=CD$. $(1)$求证:$BC$是$\odot O$的切线； $(2)$若$\angle B=30^{\circ}$,$BE=6$,求图中阴影部分的面积.

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如图,以$\triangle AOB$的顶点$O$为圆心,$OB$为半径作$\odot O$,交$OA$于点$E$,交$AB$于点$D$,连接$DE,DE$ ∥ $OB$,延长$AO$交$\odot O$于点$C$,连接$CB$. $(1)$求证:$BC=BD$； $(2)$若$\angle A=30^{\circ}$,求$\angle C$的度数.

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解方程:$x^{2}-4x+1=0$.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(m+3\right)x+2+m=0$. $(1)$求证:对于任意实数$m$,该方程总有实数根； $(2)$若这个一元二次方程的一根大于$2$,求$m$的取值范围.

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如图,点$E$是$\triangle ABC$的内心,$AE$的延长线交$BC$于点$F$,交$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$点$D$.过$D$作直线$DM$ ∥ $BC.$ $(1)$求证:$DM$是$\odot O$的切线； $(2)$求证:$DE=BD$； $(3)$若$DE=2\sqrt{5}$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$、$BC$于点$D$、$E$. $(1)$求证:点$E$是$BC$的中点； $(2)$若$\angle C=70^{\circ}$,求$\angle BOD$的度数.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\angle ACD=30^{\circ}$,过$D$作$DE\bot AB$,垂足为点$E$,$DE$的延长线交$\odot O$于点$F$,$AB=8$,求$\angle DAB$的度数和$DF$的长.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC$是$\odot O$的直径,$\odot O$与边$AB$交于点$D$,$E$为$BD$的中点,连接$CE$,与$AB$交于点$F$. $(1)$若$\angle A=4\angle B$,求$\angle ECB$的大小； $(2)$求证:$AC=AF$； $(3)$若$BC=6$,$\frac{EF}{FC}=\frac{1}{2}

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解方程: $(1)3x\left(x-2\right)=x-2$； $(2)x^{2}+12x+27=0$.

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一元二次方程$x^{2}=-4x$的解是______.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$OD$交$AC$于点$E$,$\widehat {AD}=\widehat {CD}$. $(1)$求证:$OD$ ∥ $BC$； $(2)$若$AC=10$,$DE=4$,求$BC$的长.

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用适当的方法解下列方程: $(1)x^{2}-4x+1=0$； $(2)3x^{2}+5\left(2x+1\right)=0$； $(3)\left(x-3\right)^{2}+4x\left(x-3\right)=0$.

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若菱形$ABCD$的一条对角线长为$8$,边$CD$的长是方程$x^{2}-10x+24=0$的一个根,则该菱形$ABCD$的周长为____.

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如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，弦\(CD⊥AB\)于点\(E\)，点\(F\)在\(\overparen{BC}\)上，\(AF\)与\(CD\)交于点\(G\)，点\(H\)在\(DC\)的延长线上，且\(HG=HF\)，延长\(HF\)交\(AB\)的延长线于点\(M.\) \((1)\)求证：\(HF\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(\sin M=\dfrac{4}{5}\)，\(BM=1\)，求\(AF\

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如图，在\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90°\)，以\(BC\)为直径作半圆\(O\)交\(AB\)于点\(D\)，\(E\)为\(AC\)的中点，连接\(DE\)，\(DC.\) \((1)\)求证：\(DE\)是半圆\(O\)的切线； \((2)\)若\(∠BAC=60°\)，\(DE=6\)，求\(CD\)的长．

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