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在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$在直线$l$上,以$A$为圆心,$OA$为半径的圆与$y$轴的另一个交点为$E$,给出如下定义:若线段$OE$,$\odot A$和直线$l$上分别存在点$B$,点$C$和点$D$,使得四边形$ABCD$是矩形（点$A$,$B$,$C$,$D$顺时针排列),则称矩形$ABCD$为直线的"理想矩形".例如,图中的矩形$ABCD$为直线$l$的"理想矩形",若点$A\left(3,4\right)$,则

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如图,在矩形$ABCD$中,$E$为$AD$边的四等分点$\left(AE \gt ED\right)$,连接$BE$,将矩形沿$BE$折叠,点$C$落在点${C\’}$处,点$D$落在点${D\’}$处,$BC\’$与$AD$交于点$F$,连接${C\’}E$.若$BC=4$,$AB=2$,则$EF=$______,点$F$到${C\’}E$的距离为______.

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已知:二次函数$y=-x^{2}+2x+3$ $(1)$用配方法将函数关系式化为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； $(2)$画出所给函数的图象； $(3)$观察图象,指出使函数值$y \gt 3$的自变量$x$的取值范围.

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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象上部分点的对应值如下表:则使$y \lt 0$的$x$的取值范围为______$. $ $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $y$ $6$ $0$ $-4$ $-6$ $-6$ $-4$ $0$ $6$

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过$A\left(1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$,$C\left(0,3\right)$. $(1)$求二次函数解析式； $(2)$按照列表、描点、连线的步骤,在图中画出该二次函数图象（要求至少画$5$个点）； $(3)$当$0\leqslant x\leqslant 3$时,直接写出$y$的取值范围______.

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如图,$\angle B=45^{\circ}$,$BC=2$,在射线$BM$上取一点$A$,设$AC=d$,若对于$d$的一个数值,只能作出唯一一个$\triangle ABC$,$d$的取值范围是______.

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抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+bx+c(b$,$c$为常数）的顶点为$P$,其与$x$轴相交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧).点$M\left(0,3\right)$,$O$为原点. $(Ⅰ)$若抛物线经过点$M$, ①当点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$时,求点$B$的坐标； ②连接$MP$,当$\angle OMP=45^{\circ}$时,求$b$的值； $(Ⅱ)$若$c=b^{

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抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-4x+3$的顶点坐标和对称轴分别是____.

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已知点$\left(-m,0\right)$和$\left(3m,0\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx+3(a$,$b$是常数,$a\neq 0)$的图象上. $(1)$当$m=-1$时,求$a$和$b$的值； $(2)$若二次函数的图象经过点$A\left(n,3\right)$且点$A$不在坐标轴上,当$-2 \lt m \lt -1$时,求$n$的取值范围； $(3)$求证:$b^{2}+4a=0$.

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如图,平面直角坐标系$xOy$中,$\odot P$与$x$轴交于点$O$与$A\left(6,0\right)$,$\odot P$的半径是$\sqrt{13}$,则点$P$的坐标是______.

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已知抛物线$y=-\frac{3}{16}(x-1)(x-9)$与$x$轴交于$A$,$B$两点,对称轴与抛物线交于点$C$,与$x$轴交于点$D$,$\odot C$的半径为$2$,点$G$为$\odot C$上一动点,点$P$为$AG$的中点,则$DP$的最大值为______.

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电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图,在一个斜坡$BD$上按水平距离间隔$60$米架设两个塔柱,每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为$27$米$(AB=CD=27$米),以过点$A$的水平线为$x$轴,水平线与电缆的另一个交点为原点$O$建立平面直角坐标系,如图所示.经测量,$AO=40$米,斜坡高度$12$米（即$B$、$D$两点的铅直高度差). 结合上面信息,回答问题: $(1)$若以$1$米为一个单位

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在同一坐标系中一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象可能为（ ）

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一个抛物线形拱桥,桥底水平面宽度（跨度）是$12$米,拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是$4$米,如图,以水平直线为$x$轴,以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为$y$轴,坐标原点为$O$建立直角坐标系.一艘货船宽度为$6.8$米,装载集装箱后高出水面$2$米.一场大雨后,水面比下雨前上升了$1$米,此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗?请通过计算进行说明.

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已知抛物线$y=-x^{2}-bx+n$经过$\left(-2,0\right)$和$\left(4,0\right)$两点,则$b$的值为（ ）

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设二次函数$y=\left(x+1\right)\left(ax+2a+2\right)(a$是常数,$a\neq 0)$. $(1)$若$a=1$,求该函数图象的顶点坐标. $(2)$若该二次函数图象经过$\left(-1,1\right)$,$\left(-2,3\right)$,$\left(0,-2\right)$三个点中的一个点,求该二次函数的表达式. $(3)$若二次函数图象经过$(x_{1}$,$y_{1})$,$(x_{

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a \gt 0\right)$的对称轴为直线$x=1$,与$x$轴的一个交点为$\left(-1,0\right)$.若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=p\left(p \lt 0\right)$有整数根,则$p$的值有（ ）

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在平面直角坐标系中,直线$y=-3x+3$与$x$、$y$轴分别交于$A$、$B$两点,$C$在$x$轴负半轴上,$CB=5$. $(1)$求$CB$所在直线的解析式； $(2)$已知点$D$为$x$轴上一动点,且满足$\angle CBD=\angle ABO$,求$D$点坐标； $(3)$平面内是否存在点$P$,使得$\triangle PAB\sim \triangle OBC$,求$P$点坐标.

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材料一:如图$1$,由课本$91$页例$2$画函数$y=-6x$与$y=-6x+5$可知,直线$y=-6x+5$可以由直线$y=-6x$向上平移$5$个单位长度得到由此我们得到正确的结论一: 在直线$l_{1}$:$y=k_{1}x+b_{1}$与直线$l_{2}$:$y=k_{2}x+b_{2}$中,如果$k_{1}=k_{2}$且$b_{1}\neq b_{2}$,那么$l_{1}$ ∥ $l_{2}$,反过来,也成立. 材料二:如

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对于抛物线$y=x^{2}-4x+5$. $(1)$顶点坐标为______； $(2)$在坐标系中利用描点法画出此抛物线 $x$ $\ldots $ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $(3)$结合图象直接回答:当$0 \lt x \lt 3$时,则$y$的取值范围是______.

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