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点$P\left(2a+4,2-a\right)$关于$x$轴的对称点在第四象限内,则$a$的取值范围为______.

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在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l$为一、三象限角平分线.点$P$关于$y$轴的对称点称为$P$的一次反射点,记作$P_{1}$,$P_{1}$关于直线$l$的对称点称为点$P$的二次反射点,记作$P_{2}$,例如,点$P\left(-2,5\right)$的一次反射点为$P_{1}(2,5)$,二次反射点为$P_{2}(5,2)$.根据定义,回答下列问题: $(1)$点$\left(2,5\right)$的一次反射点为_____

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在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l$为一、三象限角平分线.点$P$关于$y$轴的对称点为$P$的一次反射点,记为$P_{1}$,$P_{1}$关于直线$l$的对称点称为点$P$的二次反射点,记作$P_{2}$.例如,点$\left(-2,5\right)$的一次反射点为$\left(2,5\right)$,二次反射点为$\left(5,2\right)$.根据定义,回答下列问题: $(1)$点$\left(3,-4\right)$的

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如图,在平面直角坐标系中,点$A\left(2,m\right)$在第一象限,若点$A$关于$x$轴的对称点$B$在直线$y=-x+1$上,则$m$的值为______.

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$(1)$如图$1$,已知:在$\triangle ABC$中,$AB=AC=10$,$BD$平分$\angle ABC$,$CD$平分$\angle ACB$,过点$D$作$EF$ ∥ $BC$,分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$两点,则图中共有______个等腰三角形；$EF$与$BE$、$CF$之间的数量关系是______,$\triangle AEF$的周长是______. $(2)$如图$2$,若将（1）中"$\tria

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如图,在$\triangle ABC$中$,ED$ ∥ $BC$,$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$,$F$.若$FG=2$,$ED=4$,则$EB+DC$的值为______.

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嘉嘉和淇淇下棋,嘉嘉执圆形棋子,淇淇执方形棋子,如图,棋盘中心的圆形棋子的位置用$\left(-1,1\right)$表示,右下角的圆形棋子用$\left(0,0\right)$表示,淇淇将第$4$枚方形棋子放入棋盘后,所有棋子构成的图形是轴对称图形.则淇淇放的方形棋子的位置可能是（ ）

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如图是学校的平面示意图,现测得宿舍楼的位置是$\left(3,4\right)$,艺术楼的位置是$\left(-3,1\right)$. $(1)$根据题意,画出相应的平面直角坐标系； $(2)$分别写出教学楼、体育馆的位置； $(3)$若学校行政楼和食堂的位置分别是$\left(-1,-1\right)$和$\left(3,-2\right)$,请在图中标出行政楼和食堂的位置.

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如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$在线段$AB$的反向延长线上,过$AC$的中点$F$作线段$GE$交$\angle DAC$的平分线于$E$,交$BC$于$G$,且$AE$ ∥ $BC.$ $(1)$求证:$\triangle ABC$是等腰三角形. $(2)$若$AE=8$,$AB=10$,$GC=2BG$,求$\triangle ABC$的周长.

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阅读下列材料,然后回答问题: 已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^{2}-8a+1$的值,小名是这样分析与解答的: $\because a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$, $\therefore a-2=-\sqrt{3}$, $\therefore \left(a-2\right)^{

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实数$a$在数轴上的位置如图所示,则$\sqrt{{{(a-4)}^2}}+\sqrt{{{(a-11)}^2}}$化简后为______.

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如图,$5$架轰炸机组成三角形飞行编队,每架飞机都在边长等于$1$的正方形网格格点上,其中$A$,$B$两架轰炸机对应点的坐标分别为$A\left(-2,1\right)$和$B\left(-2,-3\right)$,那么轰炸机$E$对应点的坐标是______.

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在平面直角坐标系中,将四边形$ABCD$四个顶点的横、纵坐标同乘$3$后顺次连接,得到四边形${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$,则四边形${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$与四边形$ABCD$相似,周长扩大为原来的______倍.

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若式子$\frac{4x-1}{x-3}$有意义,则实数$x$的取值范围是______.

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先化简,再求值:$(1-\frac{2}{x-1})÷\frac{{x}^{2}-6x+9}{{x}^{2}-x}$,请从$1$、$2$、$3$中选取的一个合适的数作为$x$的值.

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某校九年级学生准备毕业庆典,打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱.已知大厅圆柱高$4$米,底面周长$1$米.由于在中学同学三年,他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱$3$圈（如图）,那么螺旋形花圈的长至少____米.

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学习与探究: 如图$1$,$OP$是$\angle MON$的平分线,点$A$是$OP$上任意一点,用圆规分别在$OM$、$ON$上截取$OB=OC$,连接$AB$、$AC$,则$\triangle AOB$ ≌ $\triangle AOC$,判定方法是______. 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: $(1)$如图$2$,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB$是直角,$\angle B=60^{\

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若$\left(m+1\right)x^{|m|}+2 \gt 0$是关于$x$的一元一次不等式,则$m=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走"捷径",在花圃内走出了一条"路"（如图中的实线).其实他们仅仅少走了______$m$,却踩伤了花草.

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张同学在深入研究课本$82$页第$2$题时发现:如图$\left(1\right)$,一架梯子$AB$斜靠在竖直墙$OA$上,梯子底端点$B$距离墙角$O$的距离是$3m$,此时梯子到达的垂直高度$OA$是$4m$,通过计算可以得到梯子$AB$的长为______$m,$爱动脑筋的张同学发现,梯子$AB$的中点为$M$,当梯子底端从$B$向右滑动到点$D$的过程中,中点$M$到$O$的距离______$.(填变大、不变、变小)$张同学继续

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