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如图,$AC$为▱$ABCD$的对角线,$AC\bot AB$,点$E$在$AD$上,连结$CE$,分别延长$CE$,$BA$交于点$F$,若$CE=AE=4$,则$BC$的长为______.

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如图,长方形$OABC$的长和宽分别是$4$和$3$. $(1)$请以点$O$为坐标原点,以直线$OA$为$x$轴,$OC$为$y$轴建立平面直角坐标系画在图中. $(2)$现有一点$P$从原点$O$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿着$O\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow O$的路线运动（回到$O$为止),设运动时间为$t(单位:秒)$. ①点$B$坐标是______

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如图,$AD$,$BE$,$CF$是$\triangle ABC$的三条中线,以下结论正确的是（ ）

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如图,矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,点$P$是线段$AD$上任意一点（点$P$不与$A$、$D$重合）,过$P$作$PE\bot AC$于点$E$,$PF\bot BD$于点$F$,则$PE+PF$等于______.

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如图,菱形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,点$P$为$AB$边上一动点（不与点$A$、$B$重合）,$PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,若$AC=8$,$BD=8\sqrt{3}$,则$EF$的最小值为______.

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如图,菱形$ABCD$的对角线相交于点$O$,$AC=8$,$BD=6$,点$P$为边$AB$上一点,且点$P$不与点$A$,$B$重合.过点$P$作$PE\bot AC$于点$E$,$PF\bot BD$于点$F$,连接$EF$,则$EF$的最小值为（ ）

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如图,菱形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$P$为$AB$边上一动点（不与点$A$,$B$重合$),PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,若$AB=8$,$\angle BAD=60^{\circ}$,则线段$EF$长度的最小值为______.

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如图,菱形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$P$为$AB$边上一动点（不与点$A$,$B$重合$),PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,若$AB=4$,$\angle BAD=60^{\circ}$,则$EF$的最小值为____.

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如图,菱形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,点$P$为$AB$边上一动点（不与点$A$,$B$重合）,$PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,已知$AC=10$,$BD=5$. $(1)$判断四边形$OEPF$的形状,并说理由； $(2)$求$EF$的最小值.

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下列说法中,不正确的个数是（ ） ①实数包括有理数、无理数和零；②有理数和数轴上的点一一对应；③所有无理数都是无限不循环小数；④$\left(a-3\right)^{2}=a^{2}-9$；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为$0$和$1$.

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类比推理是一种推理方法,即根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法. 观察下列计算过程: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$ $=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac

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如图,$E$,$F$分别是平行四边形$ABCD$的边$AD$,$BC$上的点,$AF$与$BE$相交于点$P$,$DF$与$CE$相交于点$Q$,若${S}_{△ABP}=13c{m}^{2}$,${S}_{△CDQ}=14c{m}^{2}$则阴影部分四边形$EPFQ$的面积为______$cm^{2}$.

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类比推理是一种特殊的归纳推理,人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时,以某些事物、道理之间存在相似性质为依据,推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质,它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一.在日常数学学习中,我们常常借助类比推理研究新的知识,如:分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的. 小明同学类比除法$240\div 16=15$的竖式计算,想到对二次三项式$x^{2}+3x+2$进行因式分解的方法: 即$(x^{2

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规律:如图$1$,直线$m$ ∥ $n$,$B$,$C$为直线$n$上的点,$A$,$P$为直线$m$上的点.如果$A$,$B$,$C$为三个定点,点$P$在直线$m$上移动,那么无论点$P$移动到何位置,$\triangle ABC$与$\triangle PBC$的面积始终相等,其理由是$\_\_\_\_\_\_\_\_\_$______. 应用: $(1)$如图$2$,$B$、$C$、$D$三点在同一条直线上,$\triangle

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数学来源于生活,又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）

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如图,$BM$是$\angle ABC$的平分线,点$Q$、$D$分别在$BA$、$BM$上,点$P$为直线$BC$上的一个动点,如果$BQ=6$,$\triangle BDQ$的面积为$9$,那么线段$DP$的长不可能是（ ）

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如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆$DE$上一点$A$往地面拉两条长度相等的固定绳$AB$和$AC$,当点$B$、$E$、$C$在同一直线上且固定点$B$、$C$到杆脚$E$的距离相等时,电线杆$DE$就垂直于$BC$,工程人员这种操作方法的依据是（ ）

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如图,$OP$平分$\angle AOB$,$PC\bot OA$于$C$,点$D$在$OB$上,$PC=3$,则$PD$的取值范围是______.

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点$P$在$\angle AOB$的平分线上,点$P$到$OA$边的距离等于$m$,点$Q$是$OB$边上的一个动点,则$PQ$与$m$的大小关系是（ ）

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课本再现: 如图$1$,有一个圆柱,它的高为$12cm$,底面圆的周长为$18cm$.在圆柱下底面的点$A$处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点$A$相对的点$B$处的食物,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 方法探究: $(1)$对于立体图形中求最短路程问题,应把立体图形展开成平面图形,再确定$A$,$B$两点的位置,依据"两点之间线段最短",结合勾股定理,解决相应的问题.如图$2$,在圆柱的侧面展开图中,点$A$,$B$对应的位置如图

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