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在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$\angle ADE=\angle C$,$AD=1$,$AE=2$,$AC=3$,那么$AB=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在平面直角坐标系中,点$A\left(-1,0\right)$、$B\left(0,3\right)$在抛物线$y=-x^{2}+bx+c$上,该抛物线的顶点为$C$.点$P$为该抛物线上一点,其横坐标为$m$. $(1)$求该抛物线的解析式； $(2)$当$BP\bot y$轴时,求$\triangle BCP$的面积； $(3)$当该抛物线在点$A$与点$P$之间（包含点$A$和点$P)$的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定

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若直角三角形三边长分别是$n$,$n+3$,$n+6$,则该三角形的面积是______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,下列说法错误的是（ ）

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【问题呈现】 如图$1$,$\angle MPN$的顶点在正方形$ABCD$两条对角线的交点处,$\angle MPN=90^{\circ}$,将$\angle MPN$绕点$P$旋转,旋转过程中,$\angle MPN$的两边分别与正方形$ABCD$的边$AD$和$CD$交于点$E$、$F($点$F$与点$C$,$D$不重合).探索线段$DE$、$DF$、$AD$之间的数量关系. 【问题初探】 $(1)$爱动脑筋的小悦发现,通过证明两

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如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A\left(-1,0\right)$和$C\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$B\left(0,3\right)$,$P$是抛物线上的一动点. $(1)$求抛物线的表达式； $(2)$若点$D\left(2,3\right)$向下平移$8$个单位长度,向右平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位长度后,恰好落在$y=-x^

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$是斜边$AB$上的高. $(1)$求证:$\triangle ACD$ ∽ $\triangle CBD$； $(2)$若$AD=4$,$BD=1$,求$CD$的长.

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如图①,抛物线$y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{2}x+4$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,$C$,将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$,所得直线与$x$轴交于点$D$. $(1)$求直线$AD$的函数解析式； $(2)$如图②,若点$P$是直线$AD$上方抛物线上的一个动点. ①当点$P$到直线$AD$的距离最大时,求点$P$的坐标和最大距离； ②当点$P$到直线$AD$

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如图,已知锐角$\triangle ABC$的边$BC$长$40$厘米,高$AH$为$30$厘米,矩形$DEFG$的一边$EF$在边$BC$上,顶点$D$、$G$分别在$AB$、$AC$上.如果矩形$DEFG$的长是宽的$2$倍,求$EF$的长.

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如图,$\triangle ABC$的边$AB$为$ O$的直径,$BC$与圆交于点$D$,$D$为$BC$的中点,过$D$作$DE\bot AC$于$E$. （1）求证:$DE$为$ O$的切线； （2）若$AB=13$,$CD=5$,求$CE$的长.

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勾股定理被誉为"几何明珠",在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如图$1$是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图$2$是由图$1$放入长方形内得到的,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=3$,$AC=4$,点$D$、$E$、$F$、$G$、$H$、$I$都在长方形$KLMJ$的边上,则长方形$KLMJ$的面积为（ ）

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已知$\odot O$的半径为$2$,若$P$为$\odot O$外一点,则$OP$的长可以是（ ）

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A\left(-3,5\right)$,$B\left(0,5\right)$.抛物线$y=-x^{2}+bx+c$交$x$轴于$C\left(1,0\right)$,$D\left(-3,0\right)$两点,交$y$轴于点$E$. $(1)$求抛物线的解析式； $(2)$当$-4\leqslant x\leqslant 0$时,求$y$的最小值； $(3)$连接$AB$,若二次函数$y=-x

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解方程: $(1)\left(x+3\right)^{2}-5=0$； $(2)x^{2}+1=3x(配方法)$； $(3)2x^{2}-7x+6=0(公式法)$； $(4)\left(x-4\right)^{2}=4x\left(4-x\right)$.

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一元二次方程$x^{2}-6x+5=0$配方后可化为（ ）

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用配方法解方程$x^{2}-4x=1$时,配方所得的方程为（ ）

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近年来,随着智能技术的发展,智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图$1$所示是一款智能送货机器人,图$2$是其侧面示意图,现测得其矩形底座$ABCD$的高$BC$为$30cm$,上部显示屏$EF$的长度为$30cm$,侧面支架$EC$的长度为$100cm$,$\angle ECD=80^{\circ}$,$\angle FEC=130^{\circ}$,则该机器人的最高点$F$距地面$AB$的高度约为$\left(\ \ \righ

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数学课题研究小组针对住房窗户"如何设计遮阳篷"这一课题进行了探究,过程如下: 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.该数学课题研究小组通过调查研究,设计安装了如图$1$的遮阳篷,其中遮阳篷$CD$垂直于墙面$AC$,$AB$表示窗户. 【数据收集】 如图,通过查阅相关资料和实际测量:夏至日这一天的正午时刻太阳光线$DA$与遮阳篷$CD$的夹角$\angle ADC$最大,

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如图,$EF$是$\odot O$的直径,$EB$是弦,$A$是弧$EF$的中点,$AB$与$EF$交于点$C$,$G$是$EF$延长线上的一点,且$BG$是$\odot O$的切线. $(1)$证明:$BG=CG(请用两种证法解答)$； $(2)$连接$AF$,取$AF$的中点$D$,连接$ED$.若$BG=3$,$FC=1$,求$ED$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$O$为$BC$边上一点,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的圆与边$AB$相交于点$D$,连接$DC$,且$DC=AC$. $(1)$求证:$DC$为$\odot O$的切线； $(2)$若$\odot O$的半径为$3$,$CD=4$,求$BC$的长.

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