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探寻规律,学以致用 $(1)$把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来: 观察上面计算结果相等的各式之间的关系,可归纳出的结论是:$1-\frac{1}{{n}^{2}}=\_\_\_\_\_\_.$ $(2)$利用上述规律计算下式的值:$(1-\frac{1}{{2}^{2}})×(1-\frac{1}{{3}^{2}})×(1-\frac{1}{{4}^{2}})×⋯×(1-\frac{1}{202{4}^{2}})×(1-\fra

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若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx-2=0\left(a\neq 0\right)$的一个根,则$2021-2a+2b$的值等于（ ）

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已知$2m-3n=-2$,则代数式$4m-6n+1$的值为（ ）

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已知a,b是方程x 2 -x-3=0的两个根,则代数式2a 3 +b 2 +3a 2 -11a-b+5的值为（ ）

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若$x=-1$是一元二次方程$x^{2}+bx+3=0$的一个根,则$b$的值是（ ）

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已知$m$是一元二次方程$x^{2}+2x-3=0$的一个解,求$\frac{m^2+2m+1}{m^2-1}÷\frac{3}{m-1}$的值.

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聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序$A$和$B$,如图,在程序$A$中$\triangle $处输入一个正整数,则程序自动在$\square $处填补出一个比$\triangle $处大$1$的数字并显示计算结果,同时程序$B$会复制程序$A$中相应位置的数值完成程序$B$的计算并显示计算结果.例:$\triangle $处输入$1$,则程序$A$完成运算$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$,程序$B$完成运算$

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若$a$是关于$x$的方程$3x^{2}-x-1=0$的一个根,则$2021-6a^{2}+2a$的值是（ ）

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x-a=0$有一个根为$-1$,则$a$的值为______.

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二次函数$y=x^{2}-3x+k$的图象与$x$轴有两个交点,则实数$k$的取值范围是____.

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已知二次函数$y=x^{2}-bx+1$与$x$轴没有交点,则$b$的取值可以是______$.(写出一个符合题意的值即可)$

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已知$k$为常数,且多项式$(2x^{2}+3)-(kx^{2}-1)$的值与$x$无关,则$k$的值为（ ）

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已知函数$y=\left(k-3\right)x^{2}+2x+1$的图象与$x$轴有交点,求$k$的取值范围.

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已知二次函数的图象的顶点是$\left(-1,-2\right)$,且经过点$(0,-\frac{3}{2})$. $(1)$求二次函数的解析式； $(2)$直接写出图象位于$x$轴下方时,自变量$x$的取值范围.

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二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的部分图象如图所示,对称轴是直线$x=-1$,则关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+bx+c=0$的根为______.

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上某些点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表: $x$ $\ldots $ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $-3$ $p$ $1$ $p$ $m$ $\ldots $ 有以下几个结论: ①抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$y$轴的交点坐标是$\left(0,-3\right)$； ②抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对

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已知$A=ax^{2}-4x+3$,$B=2x^{2}-bx-3$,则下列说法: ①若$2A+B$的值与$x$的取值无关,则$a=-1$,$b=-4$； ②当$a=1$,$b=4$时,若$|A-B|=6$,则$x=0$或$x=2\sqrt{3}$； ③当$a=-1$,$b=1$时,若$|2A+B-4|+\frac{1}{2}|2A+B-3|+\frac{1}{2}|2A+B+2|$有最小值$\frac{7}{3}$. 其中正确的个数是（

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已知$x=2$是关于$x$的方程$ax+2x-2=0$的解,则$a$的值为______.

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一元二次方程$x^{2}+2x-1=0$的根的情况是（ ）

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将一元二次方程$3x^{2}-2=4x$化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为（ ）

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