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阅读材料: 材料一:两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式. 例如:$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$,$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})=6-2=4$,我们称$\sqrt{3}$的一个有理化因式是$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}-\sqrt{2}$的一个有理化因式是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 材料二:如果一个代

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$\sqrt{5}-2$的一个有理化因式可以是______.

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将$2023$个边长为$1$的正方形按如图所示的方式排列,点$A$,$A_{1}$,$A_{2}$,$A_{3}$,$\ldots A_{2022}$和点$M$,$M_{1}$,$M_{2}$,$\ldots $,$M_{2021}$是正方形的顶点,连接$AM_{1}$,$AM_{2}$,$AM_{3}$,$\ldots AM_{2021}$分别交正方形的边$A_{1}M$,$A_{2}M_{1}$,$A_{3}M_{2}$,$\ldo

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在$\triangle ABC$中,$AB=6cm$,$AC=5cm$,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,连接$DE$,$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似,且$S_{\triangle ADE}$:$S_{四边形BCED}=1:8$,则$AD$的值为（ ）

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已知两个相似三角形的相似比为$1:4$,则它们的面积比为（ ）

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如图,在矩形$ABCD$中,点$A$的坐标是$\left(-3,0\right)$,点$C$的坐标是$\left(3,8\right)$,则$BD$的长为（ ）

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如图,抛物线$y=ax^{2}+bx-3\left(a\neq 0\right)$交$x$轴于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点.$P$是$y$轴上一点,过点$P$作一条平行于$x$轴的直线,交该抛物线于$C$,$D$两点（点$C$在左边,点$D$在右边).若$DP=4PC$,则点$C$的横坐标是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$DC$平分$\angle ACB$,$BD\bot CD$于点$D$,$\angle ABD=\angle A$,若$BD=1$,$AC=7$,则$\tan \angle CBD$的值为____.

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我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图",它是由$4$个全等的直角三角形与$1$个小正方形拼成的一个大正方形,已知大正方形的面积为$25$,小正方形的面积为$3$. $(1)$如图$1$,若用$a$,$b$表示直角三角形的两条直角边$\left(a \lt b\right)$,$a+b=\_\_\_\_\_\_.$ $(2)$如图$2$,若拼成的大正方形为正方形$ABCD$,中间的小正方形为正方形$EFGH$,连接$AC

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青朱出入图（图$1)$是东汉末年数学家刘徽根据"割补术"运用数形关系证明勾股定理引入的图形,该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等,朱入与朱出的三角形全等,朱方与青方是两个正方形.为便于叙述,将其绘成图$2$,若记朱方对应正方形$GDJH$的边长为$a$,青方对应正方形$ABCD$的边长为$b$,已知$b-a=3$,$a^{2}+b^{2}=29$,则图$2$中的阴影部分面积为______.

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图$1$是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若$AC=6$,$BC=5$,将四个直角三角形中的边长为$6$的直角边分别向外延长一倍,得到图$2$所示的"数学风车",则这个风车的外围周长是（ ）

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"赵爽弦图"是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,在验明勾股定理,为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. $(1)$如图$1$,是小琪制作的一个"赵爽弦图"纸板. ①设$AH=a$,$BH=b$,$AB=c$,请你利用图$1$验证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$； ②若大正方形$ABCD$的边长为$13$,小

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综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数? 【活动操作】小明参照教材用$4$张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形$ABEFG$. 【探索新知】 $(1)$从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形$ABEFG$的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程. $(2)$如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a$、$b$、$c$是三个正整数,我们称$a$、$b$、$c$为勾股数.已知$m

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在"勾股定理"一章的学习中,我们体会到了勾股定理应用的广泛性,以及"数形结合"是解决数学问题的一种重要的思想方法. $(1)$【已有认识】$\sqrt{2}$既可以从算术平方根的角度理解,结合勾股定理的知识,也能将其看成是直角边都为$1$的直角三角形的斜边长,即$\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}$,由此得到在数轴上寻找$\sqrt{2}$所表示的点的方法,如图$1$. 【拓展运用】如图$2$,点$O$、点$A$在数轴上,且

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规定以下两种变换:①$f\left(m,n\right)=\left(m,-n\right)$,如$f\left(2,1\right)=\left(2,-1\right)$；②$g\left(m,n\right)=\left(-m,-n\right)$,如$g\left(2,1\right)=\left(-2,-1\right)$.按照以上变换有:$f\left[g\left(3,4\right)\right]=f\left(-3,-4

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$-\left(+5\right)$的倒数是（ ）

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三名学生进行了若干科目的考试,以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多,其次是第二名,第三名得分最少.各科都是如此记分.已知甲最后得$22$分,乙最后得$9$分,丙也是得$9$分.并且已知乙英语考试得了第一名,问数学第二是谁?

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计算$\left(-1\right)+\left(+2\right)+\left(-3\right)+\left(+4\right)+$⃯$+\left(-2023\right)+\left(+2024\right)$的结果是（ ）

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甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净,事后教师问他们是谁做的好事,甲说:"是乙做的"；乙说:"不是我做的"；丙说:"不是我做的".如果他们中有两人说了假话,一人说的是真话,你能判断是谁做的吗.（ ）

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六名运动员杨、柳、桃、梅、柏、林比赛中国象棋,每两人赛一局.第一天杨与柳各赛了$3$局,梅与桃各赛了$4$局,柏赛了$2$局,而且梅和柳、杨和桃之间都还没赛过,那么林已赛了______局.

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