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数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法,比如$|x_{1}-x_{2}|$在数轴上表示数$x_{1}$,$x_{2}$对应的点之间的距离.现定义一种"$H$运算",对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和.例如:对$-1$,$1$,$2$进行"$H$运算",得$|-1-1|+|-1-2|+|1-2|=6$.下列说法: ①对$m$,$-1$进行"$H$运算"的结果是$3$,则$m$的值是$-4$； ②对$n$,$-3$

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在平面直角坐标系$xOy$中,将抛物线$y=2x^{2}$先向右平移$3$个单位长度,再向下平移$4$个单位长度后所得到的抛物线表达式为（ ）

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已知矩形$ABCD$的一条边$AD=8$,$E$是$BC$边上的一点,将矩形$ABCD$沿折痕$AE$折叠,使得顶点$B$落在$CD$边上的点$P$处,$PC=4($如图$1)$. $(1)$求$AB$的长； $(2)$擦去折痕$AE$,连接$PB$,设$M$是线段$PA$的一个动点（点$M$与点$P$、$A$不重合$).N$是$AB$延长线上的一个动点,并且满足$PM=BN$.过点$M$作$MH\bot PB$,垂足为$H$,连接$M

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如图,$\alpha $是正十边形两条对角线的夹角,则$\alpha $的度数是______$^{\circ}$

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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在$BC$边的延长线上,点$F$在$CD$边的延长线上,且$CE=DF$,连接$AE$和$BF$相交于点$M$.求证:$AE=BF$.

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《孙子算经》中有一道题,原文是:"今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺,木长几何?"意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余$4.5$尺；将绳子对折再量长木,长木还剩余$1$尺,问木长多少尺?设木长为$x$尺,绳子长为$y$尺,则可列方程组为（ ）

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【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材第$75$页练习的部分内容: 如图$1$,如果直线$l_{1}$ ∥ $l_{2}$,那么$\triangle ABC$的面积和$\triangle DBC$的面积是相等的.请你证明这个结论. 【方法探究】 如图$2$,在▱$ABCD$中,点$E$在边$BC$上,若$BE=2EC$,则$S_{\triangle ABE}$与$S_{\triangle CDE}$之间的关系为______. 【方

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珍珍将方程$x^{2}-4x-2=0$化为$\left(x+p\right)^{2}=q$的形式时,得到$p$的值为$2$,$q$的值为$6$,则珍珍所得结果（ ）

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如图,已知$\triangle ABC$,$O$为$AC$上一点,以$OB$为半径的圆经过点$A$,且与$BC$,$OC$交于点$D$,$E$.设$\angle A=\alpha $,$\angle C=\beta \left(\ \ \right)$

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如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=6cm$,$BC=8cm$,将矩形纸片折叠,使点$B$与点$D$重合,那么$\triangle DCF$的周长是____$cm$.

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某科技园作为国家级高新技术产业开发区,是重要的产业功能区和高技术创新基地,其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成.$2024$年$6$月份该科技园的总收入为$600$亿元,$8$月份达到了$864$亿元,求该科技园总收入的月平均增长率.

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如图,点$A$,$B$,$C$在$\odot O$上,若$\angle BOC=72^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数是（ ）

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解方程: $(1)x^{2}-3x=4$； $(2)2\left(x-3\right)=x^{2}-9$.

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阅读理解学习: 在学习《解直角三角形》这一章时,小迪同学勤学好问,在课外学习活动中,探究发现,三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系,下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务. 【阅读材料】:在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边分别记为$a$,$b$,$c$,$\triangle ABC$的面积记为$S_{\triangle ABC}$,过点$A$作

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=40^{\circ}$,$\angle C=80^{\circ}$. $(1)$求$\angle BAC$的度数； $(2)AE$平分$\angle BAC$交$BC$于$E$,$AD\bot BC$于$D$,求$\angle EAD$的度数.

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若$y+3$与$x^{2}$成正比例,当$x=-2$时,$y=5$,则$y$与$x$的函数关系式为______.

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如图,在菱形$ABCD$中,$\angle ABC=60^{\circ}$,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$P$是对角线$BD$上的一动点,且$PM\bot AB$于点$M$,$PN\bot AD$于点$N$.有以下结论:①$\triangle ABC$为等边三角形；②$OB=\sqrt{3}OA$；③$\angle MPN=60^{\circ}$；④$PM+PN=\frac{1}{2}BD$.其中正确的有（ ）个. ​

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$(1)$计算:$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{24}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}$； $(2)$当$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$时,求代数$x^{2}-xy+y^{2}$的值.

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下列关于直线$y=2x-5$的说法正确的是（ ）

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已知$P$是线段$AB$的黄金分割点,且$AP \gt BP$,那么下列等式不成立的是（ ）

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