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如图,在长方形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=9$.点$P$从点$A$出发,沿折线$AB\rightarrow BC$以每秒$2$个单位长度的速度向点$C$运动,同时点$Q$从点$C$出发,沿$CB$以每秒$1$个单位长度的速度向点$B$运动,当点$P$到达点$C$时,点$P$,$Q$同时停止运动.设点$P$的运动时间为$t$秒. $(1)$当点$P$在边$BC$上运动时$,PB= $______(用含$t$的式子表示）； $(2

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因式分解:$5m^{2}-5= \_\_\_\_\_\_.$

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在一家创意家居装饰店中,老板接到了一位客户的订单,要求用店内如图所示的$A$,$B$,$C$三种卡片来装饰一面墙壁,拼成一个长为$\left(3a+2b\right)$,宽为$\left(a+b\right)$的长方形图案.为了完成这个装饰任务,老板需要$A$型卡片、$B$型卡片和$C$型卡片的张数分别是（ ）

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两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成$2\left(x-1\right)\left(x-9\right)$,另一位同学因看错了常数项而分解成$2\left(x-2\right)\left(x-4\right)$,请将原多项式分解因式.

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数形结合是解决数学问题的重要思想方法,在学习"因式分解"时,我们可以借助直观、形象的几何模型来求解.下面图$1$中共有三种卡片:$A$型卡片是边长为$x$的正方形；$B$型卡片是长为$y$,宽为$x$的长方形；$C$型卡片是边长为$y$的正方形. $(1)$用$1$张$A$型卡片、$2$张$B$型卡片拼成如图$2$的图形,根据图$2$,多项式$x^{2}+2xy$因式分解的结果为______； $(2)$请用$1$张$A$型卡片、$2$

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【例题讲解】因式分解:$x^{3}-1$. $\because x^{3}-1$为三次二项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想$x^{3}-1$可以分解成$\left(x-1\right)(x^{2}+ax+b)$, 展开等式右边得:$x^{3}+\left(a-1\right)x^{2}+\left(b-a\right)x-b$, $\therefore x^{3}-1=x^{3}+\le

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如果$\left(a+b\right)^{2}=16$,$\left(a-b\right)^{2}=4$,且$a$、$b$是长方形的长和宽,则这个长方形的面积是（ ）

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数学活动课上,老师准备了若干个如图$1$的三种纸片,$A$种纸片是边长为$a$的正方形,$B$种纸片是边长为$b$的正方形,$C$种纸片是长为$b$、宽为$a$的长方形,并用$A$种纸片一张,$B$种纸片一张,$C$种纸片两张拼成如图$2$的大正方形. $(1)$观察图$2$,请你写出下列三个代数式:$\left(a+b\right)^{2}$,$a^{2}+b^{2}$,$ab$之间的等量关系. $(2)$若要拼出一个面积为$\lef

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根据以下素材,探索完成任务. 校园实践基地土地分割方案 素材$1$ 学校有一块总面积为$35m^{2}$的长方形空 地,现将这块空地用于建造实践基地. 素材$2$ 将长方形空地分割为以下三种类型土地: $A$型土地是$a\times a$的正方形, $B$型土地是$b\times b$的正方形, $C$型土地是$a\times b$的长方形. $(a$,$b$都是正整数） 问题解决 任务一 学校原计划将长方形空地分割成$1$块$A$型土

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如图,将$\triangle ABC$沿经过点$A$的直线$AD$折叠,使边$AC$所在的直线与边$AB$所在的直线重合,点$C$落在边$AB$上的$E$处.若$\angle B=45^{\circ}$,$\angle BDE=20^{\circ}$,则$\angle CAD=$____.

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如图,在等腰$\triangle EBC$中,$EB=EC$,$AB=BC$,$\angle E=40^{\circ}$,$\angle ACD$的度数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=66^{\circ}$,$BD$平分$\angle ABC$,$P$为线段$BD$上一动点,$Q$为边$AB$上一动点,当$AP+PQ$的值最小时,$\angle APB$的度数是______.

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已知等腰三角形的周长为$12cm$,则底边长$y\left(cm\right)$关于腰长$x\left(cm\right)$的函数解析式为____.

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某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为$200$元,每桶水的进价是$5$元,现在每桶水的销售价格是$8$元,如果用$x(单位:桶)$表示每天的销售数量,用$y($单位:元）表示每天的利润.(利润$=$总销售额$-$固定成本$-$水的成本） $(1)$求出$y$与$x$的函数关系式； $(2)$如果某天卖出了$65$桶水,当天该销售部是赚了还是亏了?赚或亏了多少钱?

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一个弹簧不挂重物时长$12cm$,挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上$1kg$的物体后,弹簧伸长$2cm$,弹簧的总长度$y cm$与所挂物体的质量$x kg$的函数表达式是______.

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地面气温是$20^{\circ}\mathrm{C}$,如果每升高$100m$,气温下降$6^{\circ}\mathrm{C}$,则气温$t\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)$与高度$h\left(m\right)$的函数关系式是______.

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图$1$、图$2$是两张形状大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为$1$,线段$AB$的端点均在小正方形的顶点上.请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图: $(1)$如图$1$,请以线段$AB$为斜边作等腰直角$\triangle ABC$； $(2)$如图$2$,请以线段$AB$为底边作等腰$\triangle ABD$,且使得腰长为有理数.

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如图，在菱形 $ ABCD $ 中， $ \angle B = 120^\circ $， $ AB = 6 $，动点 $ E $、 $ F $ 分别在线段 $ AB $、 $ BC $ 上，且 $ \theta E = CF $，则 $ \triangle DEF $ 面积的最小值为___。 第13题图

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如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC=8，OH=3，则菱形ABCD的周长为___ 第7题图

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已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，点F时线段OC的中点，过点D作DE⊥BD，交BF延长线于点E，连接CE、DE. （1）求证：四边形 OCED 是矩形. （2）若 $ S_{菱形ABCD}=24 $，AC=8，求 BF 的长. 第21题图

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