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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=55^{\circ}$,将其折叠,使点$A$落在边$CB$上${A\’}$处,折痕为$CD$,则$\angle {A\’}DB=\left(\ \ \right)$

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如图所示,圆柱的高$AB=3$,底面直径$BC=3$,现在有一只蚂蚁想要从$A$处沿圆柱表面爬到对角$C$处捕食,则它爬行的最短距离是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$AB=6\sqrt{3}$,点$E$为斜边$AC$的中点,点$D$在边$BC$上,且$CD=4$.点$P$为线段$AB$上的动点,则$PD+PE$的最小值为（ ）

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综合与实践: 已知:等边$\triangle ABC$. $(1)$如图$1$,$D$为线段$AB$上一点$,DE$ ∥ $BC$,交$AC$于点$E$.可知$\triangle ADE$为______三角形. $(2)D$为线段$AB$上一点,$F$为线段$CB$延长线上一点,且$DF=DC$. ①当点$D$为$AB$的中点时,如图$2$,猜想线段$AD$与$BF$的数原关系为______. ②当$D$为$AB$上任意一点,其余条件不

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已知:$\angle AOB=90^{\circ}$,$OM$是$\angle AOB$的平分线,将三角板的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动,两直角边分别与$OA$、$OB$交于$C$、$D.PC$和$PD$有怎样的数量关系,证明你的结论.

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在直线$l$上依次摆放着七个正方形（如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是$3$,$4$,$5$,正放置的四个正方形的面积依次是$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=$____.

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【初步感知】 $(1)$在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图$1$,将等腰三角形纸片$ABC$与等腰三角形纸片$ABD$按图示位置摆放,其中$AB=BC$,$AD=BD$. 求证:$\angle ABC=\angle ADB$,请你完成证明. 【深入探究】 $(2)$如图$2$,$\triangle ABC$中,$AB=BC$,点$M$在底边$AC$上,$\angle BMN=\angle ABC=\alpha $,$BM=MN$,

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$(1)$如图①,$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,点$D$为$BC$的中点,求$AD$的取值范围； $(2)$如图②,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$,$E$、$F$分别在$BC$、$CD$上,且$AB=BE$,$AD=DF$,$M$为$EF$的中点,求证:$DM\bot BM$.

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如图,$\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$,$AB=CB$,可以证明$\triangle BAD$ ≌ $\triangle BCD$的理由是（ ）

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如图,圆柱形玻璃杯的杯高为$9cm$,底面周长为$16cm$,在杯内壁离杯底$4cm$的点$A$处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿$1cm$,且与蜂蜜相对的点$B$处,则蚂蚁从外壁$B$处到内壁$A$处所走的最短路程为______$cm.(杯壁厚度不计)$

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若有一条公共边的两个三角形称为一对"共边三角形",则图中以$BC$为公共边的"共边三角形"有______对.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AB=6$,分别以$AC$、$BC$为一边向外部作正方形,它们的面积分别为$S_{1}$、$S_{2}$,则$S_{1}+S_{2}$的值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=32^{\circ}$,$\angle C=50^{\circ}$. $(1)$通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线$DF$是线段$AB$的______,射线$AE$是$\angle DAC$的______. $(2)$在（1）所作的图中,求$\angle DAE$的度数.

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如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为"美丽三角形". $(1)$如图$\triangle ABC$中,$AB=AC=\sqrt{5}$,$BC=2$,求证$\triangle ABC$是美丽三角形； $(2)\triangle ABC$是一个美丽三角形,并且$\angle C=90^{\circ}$,$AC=2\sqrt{3}$,求$BC$的长.

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尺规作图（不写作法,保留痕迹): 已知:线段$a$、$b$,$\angle \alpha $. 求作:$\triangle ABC$,使得$\angle A=\angle \alpha $,$AB=a$,$AC=b$. ​

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下列命题为假命题的是（ ）

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下列长度的三条线段中,能组成三角形的是（ ）

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如图,已知$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$中点,两边$PE$、$PF$分别交$AB$、$CA$的延长线于点$E$、$F$.求证:$AE=CF$.

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如果将直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的（ ）

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下列说法错误的是（ ）

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