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如图$1$,等边$\triangle ABC$与等边$\triangle DCP$的顶点$B$,$C$,$P$三点在一条直线上,连接$AP$交$BD$于$E$点,连$EC$. $(1)$求证:$AP=BD$； $(2)$求证:$EC$平分$\angle BEP$； $(3)$若$BP=4CP$,直接写出$BE$和$PE$之间满足的数量关系.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线交于点$E$,过点$E$作$MN$ ∥ $BC$交$AB$于$M$,交$AC$于$N$,若$BM+CN=9$,则线段$MN$的长为（ ）

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$(1)$在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AB$边上的中线$CD$把三角形的周长分为$15$和$6$两部分,求三角形各边的长. $(2)$已知两个多边形的内角和为$1440^{\circ}$,且两多边形的边数比为$1:2$,求这两个多边形的边数.

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如图,已知$D$为$\triangle ABC$边$BC$延长线上一点,$DF\bot AB$于$F$,交$AC$于$E$,$\angle A=35^{\circ}$,$\angle D=42^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数为______.

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若等腰三角形的两边长分别为$3$和$4$,则它的周长是（ ）

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如图,圆柱形玻璃杯高为$14cm$,底面周长为$32cm$,在杯内壁离杯底$5cm$的点$B$处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿$3cm$与蜂蜜相对的点$A$处,则蚂蚁从外壁$A$处到内壁$B$处的最短距离为$\left(\ \ \right)cm(杯壁厚度不计)$.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线分别交$AB$、$BC$于点$D$、$E$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$、$BC$于点$F$、$G$. $(1)$若$BC=10$,求$\triangle AEG$的周长； $(2)$若$\angle BAC=120^{\circ}$,求$\angle EAG$的度数.

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在$\triangle ABC$中,若$AC=2$,$BC=3$,$CD$为$\triangle ABC$的中线. $(1)$写出$CD$长的取值范围:______； $(2)$如图,已知线段$a$,$b$.用直尺和圆规作$\triangle ABC$,使得$AC=2a$,$BC=3a$,$CD=b$.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$为锐角,点$D$为直线$BC$上一动点,以$AD$为直角边且在$AD$的右侧作等腰直角三角形$ADE$,$\angle DAE=90^{\circ}$,$AD=AE$. $(1)$如果$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$. ①当点$D$在线段$BC$上时,如图$1$,线段$CE$、$BD$的位置关系为______,数量关系为______ ②当点$

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$(1)$尝试探究:如图$1$,$\triangle ABC$是等边三角形,$\angle DAB=90^{\circ}$,$AD=AB$,连接$CD$、$BD$,求$\angle CDB$的度数. $(2)$类比延伸:如图$2$,$\triangle ABC$是等边三角形,$AD=AB$,连接$CD$、$BD$,$AE$平分$\angle DAC$,交$BD$于$E$,交$CD$于$F$,求$\angle CDB$的度数. $(3)$

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数学课上,老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系. 问题情境: 如图$1$,三角形纸片$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$.将点$C$放在直线$l$上,点$A$,$B$位于直线$l$的同侧,过点$A$作$AD\bot l$于点$D$. 初步探究: $(1)$在图$1$的直线$l$上取点$E$,使$BE=BC$,得到图$2$,猜想线段$CE$与$AD$的数量关系,并说明理由；

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已知,如图长方形$ABCD$中,$AB=3cm$,$AD=9cm$,将此长方形折叠,使点$B$与点$D$重合,折痕为$EF$,则$\triangle ABE$的面积为（ ）

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如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$F$、$G$分别为$AC$和$BC$的中点,$D$在线段$BG$上,连接$DF$.以$DF$为边作等边$\triangle DFE$,$ED$的延长线交$AB$于$H$,连接$EC$,则以下结论:①$BF\bot AC$；②$\angle AHD+\angle AFD=180^{\circ}$；③$\angle BCE=60^{\circ}$；④当$D$在线段$BG$上（不与$G$点重

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已知在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$BC=m.\angle BAC=30^{\circ}$,点$D$是直线$BC$上一点,连接$AD$,在$AD$的右侧作等腰$\triangle ADE$,其中$AD=AE$,$\angle EAD=30^{\circ}$,连接$CE$,则$(AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE)$的最小值为______(用含$m$的代数式表示).

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图中三角形的个数是（ ）

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如图,$AC=CE$,$\angle ACE=90^{\circ}$,$AB\bot BD$,$ED\bot BD$,$AB=5cm$,$DE=3cm$,则$BD$等于（ ）

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如图,四个图形中,线段$BE$是$\triangle ABC$的高的图是（ ）

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图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是（ ）

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一个三角形的两边长分别是$12$和$5$,第三边的长恰好是$7$的整数倍,那么第三边的长是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC \gt 90^{\circ}$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$E$,$F$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$M$,$N$,直线$EF$,$MN$交于点$P$. $(1)$求证:点$P$在线段$BC$的垂直平分线上； $(2)$已知$\angle FAN=58$度,求$\angle FPN$的度数.

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