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如图,在平面直角坐标系中,三角形$ABC$的三个顶点都在格点上,点$B$的坐标为$\left(2,1\right)$.请解答下列问题: $(1)$将$\triangle ABC$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$得到图形$\triangle A_{1}BC_{1}$,请画出此图形； $(2)\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$与$\triangle ABC$关于原点对称,请画出$\triangle A_{2}B

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle {A\’}BC\’$.若$BC\’=3$,$AC=4$,求$AA\’$的长.

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一个扇形的圆心角为$120^{\circ}$,面积为$3\pi $,则此扇形的弧长为______.

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洛阳应天门是中国古代规格最高的城门,其建制对北宋汴梁宣德门、元大都崇天门、明清故宫的午门影响深远,名称更被日本京都$\cdot $应天门取用,被誉为"隋唐第一门"、"天下第一门",在中国宫城建筑史上占有重要地位. 某数学活动小组希望测量应天门的高度,他们借助测角仪和皮尺讲行了实地测量,测量结果如下表: 测量项目 测量数据 测角仪到地面的距离 $AB=2.12m$ 从$A$处观测建筑物顶部$C$的仰角 $\angle CAE=66^{\c

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如图所示,小明在家里楼顶上的点$A$处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点$A$处看电梯楼顶部点$B$处的仰角为$60^{\circ}$,在点$A$处看这栋电梯楼底部点$C$处的俯角为$45^{\circ}$,两栋楼之间的距离为$20m$,则电梯楼的高$BC$为____米（精确到$0.1).($参考数据:$\sqrt{2}≈1.414\sqrt{3}≈1.732)$

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某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下: 活动项目 测量校园中树$AB$的高度 "测角仪"方案 "平面镜"方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底$B$位于同一水平地面的$D$处； ②测量$D$,$B$两点间的距离； ③站在$D$处,用测角仪测量从眼睛$C$处看树顶$A$的仰角$\angle ACF$； ④测量$C$到地面的高度$CD$. ①选取与树底$B$位于同一水平地面的$E$处； ②测量$E$,$B$两点间的距离； ③

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如图,某同学想要用已学过的知识测量一座古塔的高度,他在离古塔$10\sqrt{3}$米的$A$处用测角仪测得塔顶的仰角为$30^{\circ}$,若测角仪高$AD=1.6$米,则古塔$BE$的高为______米.

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日月双塔是中国名塔,是桂林市的文化地标,某校九年级"综合与实践"小组开展了"日塔高度的测量"项目化学习,经过测量,形成了如下不完整的项目报告: 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 $1$.学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； $2$.培养学生动手操作能力,增强团队合作精神. 测量工具 无人机,测角仪等. 测量方案 $1$.先将无人机垂直上升至距水平地面$100m$的$P$点,测得日塔的顶端$A$的俯角为$22^{\cir

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如图,湖的旁边有一建筑物$AD$,某数学兴趣小组决定测量它的高度.他们首先在点$B$处测得建筑物最高点$A$的仰角为$30^{\circ}$,然后沿$BD$方向前进$12$米到达$C$处,又测得点$A$的仰角为$45^{\circ}$.请你帮助该小组同学,计算建筑物$AD$的高度约为______米.(结果精确到$1$米,参考数据$\sqrt{3}≈1.73)$

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海岱楼钟书阁位于山东省淄博市张店区齐盛湖公园,是钟书阁全国单体面积最大的连锁店和唯一建于独栋建筑的文化综合体,似一颗璀璨的明珠,俯瞰淄博大地的日新月异.某校数学"综合与实践"小组在测量海岱楼钟书阁的高度时,形成了如下不完整的实践报告: 测量对象 海岱楼钟书阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内): $1$.先将无人机从地面的点$C$处垂直上升$

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如图,二次函数$y_{1}=ax^{2}+bx+c\left(a \gt 0\right)$与一次函数$y_{2}=kx+m\left(k\neq 0\right)$的图象相交于点$A\left(-2,4\right)$,$B\left(8,2\right)$,则使$y_{1} \gt y_{2}$成立的$x$的取值范围是______.

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如图,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象,则不等式$ax^{2}+bx+c \gt 0$的解集是______.

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在平面直角坐标系中,二次函数$y_{1}=-x^{2}+4x$和一次函数$y_{2}=2x$的图象如图所示,那么不等式$-x^{2}+4x \gt 2x$的解集是（ ）

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设抛物线$y=x^{2}+\left(a+1\right)x+a$,其中$a$为实数. $(1)$若抛物线经过点$\left(-1,m\right)$,则$m=$______； $(2)$将抛物线$y=x^{2}+\left(a+1\right)x+a$向上平移$2$个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______.

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已知代数式$-ax^{2}+bx$的取值如下所示,由数据可得,关于$x$的一元二次方程$-ax^{2}+bx+2=0$的解是（ ） $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\ldots $ $-ax^{2}+bx$ $\ldots $ $-4$ $-2$ $0$ $0$ $-2$ $-4$ $\ldots $

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如图是二次函数$y=-x^{2}+2x+4$的图象,使$y\leqslant 1$成立的$x$的取值范围是（ ）

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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的部分图象如图所示,则关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c\geqslant 2$的解集是（ ）

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二次函数$y=-2x^{2}$的图象大致是（ ）

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如图,在$\odot O$中弦$AB$,$CD$相交于点$E$,$\angle A=30^{\circ}$,$\angle AED=75^{\circ}$,则$\angle B=\left(\ \ \right)$

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如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点$P$处安装了一台监视器,它的监控角度是$55^{\circ}$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器______台.

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