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如图,$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线交$AC$于$P$点,若$BC=4$,$\triangle PBC$的周长为$10$,则$AC=\_\_\_\_\_\_.$

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【问题初探】 $(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,请说明:$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$,为解决这一问题,同学们多用于下列两种思路: ①如图$2$,延长$BC$到$D$,过点$C$作射线$ CE$ ∥ $BA$,相当于把$\angle A$,$\angle B$都移到了顶点$C$的位置,利用图形特点获得$\angle A$,$\angle B$,$\angle AC

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$、$E$是$\triangle ABC$内的两点,$AD$平分$\angle BAC$,$\angle EBC=\angle E=60^{\circ}$.若$BE=6cm$,$DE=2cm$,则$BC$的长为（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=50^{\circ}$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,交$AB$于点$D$,连接$CD$,则$\angle ACD$的度数是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在边$BC$上,点$E$在边$AB$上$,AE=BE,AF$ ∥ $BC$,$AF$交$DE$的延长线于点$F$,若$AF=24$,$BD=3CD$,则$BC$的长为____.

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已知:如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$.求证:$BC=\frac{1}{2}AB$.

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如图:$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD$平分$\angle CAB$交$BC$于$D$,$DE\bot AB$于$E$,且$AB=6cm$,则$\triangle DEB$的周长是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC$和$\angle ABC$的平分线$AE$,$BF$相交于点$O$,$AE$交$BC$于$E$,$BF$交$AC$于$F$,过点$O$作$OD\bot BC$于$D$,下列三个结论:①$\angle AOB=90^{\circ}+\angle C$；②若$AB=4$,$OD=1$,则$S_{\triangle ABO}=2$；③当$\angle C=60^{\circ}$

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在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,点$D$,$E$分别是$\triangle ABC$的边$AC$,$BC$上的点,点$P$是直线$AB$上一动点.令$\angle PDA=\angle 1$,$\angle PEB=\angle 2$,$\angle DPE=\angle \alpha $.则$\angle \alpha $,$\angle 1$,$\angle 2$之间的关系为___

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如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A=30^{\circ}$,$M$为线段$AB$上一定点,$P$为线段$AC$上一动点.当点$P$在运动的过程中,满足$PM+\frac{1}{2}AP$的值最小时,$\angle AMP $的大小等于（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$于点$D$,$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$,交$CD$于点$F$,过点$E$作$EG$ ∥ $CD$,交$AB$于点$G$,连接$CG$. $(1)$求证:$\angle A+\angle AEG=90^{\circ}$ $(2)$求证:$EC=EG$； $(3)$若$CG=4$,$BE=5$,求四边

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如图$1$,在等腰$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD=AE$, $(1)$求证$\angle ABE=\angle ACD$； $(2)$如图$2$,过点$A$作$AF\bot BE$于点$G$,交$BC$于点$F$,过$F$作$FP\bot CD$交$BE$于点$P$,交$CD$于点$H$. ①猜想$\angle AFB$与$\angle HFC$的数量关系,并

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=8$,$BC=5$,$\angle A=40^{\circ}$,$AB$边的中垂线$MN$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$M$. （1）求$\angle DBC$的度数； （2）求$\triangle BCD$的周长.

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如图钢架中,$\angle A=25^{\circ}$,焊上等长的钢条$P_{1}P_{2}$,$P_{2}P_{3}\ldots $来加固钢架.若$P_{1}A=P_{1}P_{2}$,问这样的钢条至多需要的根数为（ ）

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等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40^{\circ}$,则顶角的度数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,将$\triangle ADE$沿$DE$折叠至$\triangle FDE$位置,点$A$的对应点为$F$.若$\angle A=15^{\circ}$,$\angle BDF=120^{\circ}$,则$\angle DEF$的度数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=60^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,$CE$平分$\angle ACB$交$AB$于点$E$,$AD$、$CE$交于点$F$.则下列说法正确的个数为（ ） ①$\angle AFC=120^{\circ}$； ②$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$； ③$CD+AE=AC$； ④$S_{\

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已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40^{\circ}$,则这个等腰三角形底角的度数为（ ）

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在$\triangle ABC$中,若$\angle A=75^{\circ}$,$\angle B=40^{\circ}$,则$\angle C$的度数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle CAB$交$BC$于$D$,$DE\bot AB$于$E$,且$AB=10cm$,$AC=8cm$,$BC=6cm$,则$\triangle DEB$的周长______.

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