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如图,在▱$ABCD$中,连接$BD$,$E$为线段$AD$的中点,延长$BE$与$CD$的延长线交于点$F$,连接$AF$,$\angle BDF=90^{\circ}$. $(1)$求证:四边形$ABDF$是矩形； $(2)$若$AD=5$,$DF=3$,求四边形$ABCF$的面积.

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【基础巩固】 $(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$D$为$AB$上一点,$\angle ACD=\angle B$.求证:$AC^{2}=AD\cdot AB$. 【尝试应用】 $(2)$如图$2$,在▱$ABCD$中,$E$为$BC$上一点,$F$为$CD$延长线上一点,$\angle BFE=\angle A$.若$BF=3$,$BE=2$,求$AD$的长. 【拓展提高】 $(3)$如图$3$,在菱形$ABC

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已知直线$y=kx+b$和直线$y=-3x$平行,且过点$\left(0,-2\right)$,则此直线解析式为____.

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如图,在梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$,$AC$与$BD$相交于点$O$,点$E$在线段$OB$上,$AE$的延长线与$BC$相交于点$F$,$OD^{2}=OB\cdot OE$. $(1)$求证:四边形$AFCD$是平行四边形； $(2)$如果$BC=BD$,$AE\cdot AF=AD\cdot BF$,求证:$\triangle ABE$ ∽ $\triangle ACD.$

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A\left(2,m\right)$绕坐标原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后,恰好落在图中阴影区域（包括边界）内,则$m$的取值范围是____.

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若反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象经过$A\left(m,-3\right)$,则$m$的值是______.

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如图,平行四边形$ABCD$中,$E$、$F$分别为$BC$、$CD$的中点,$AF$与$DE$相交于点$G$,则$DG:EG=\_\_\_\_\_\_.$

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$(1)$解方程:$\left(x-5\right)^{2}-9=0$； $(2)$计算:$(\frac{1}{3})^{-2}-3tan30°-|\sqrt{3}-3|$.

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"$m^{2}$是非负数",用不等式表示为____.

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如图,$D$、$E$、$F$分别是$\triangle ABC$三边中点. $(1)$求证:四边形$AFDE$是平行四边形； $(2)$若四边形$AFDE$是矩形,$AE=3$,$AF=5$,求$BC$的长.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的$y$与$x$的部分对应值如表: $x$ $\ldots $ $-3$ $-1$ $1$ $3$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $-3$ $0$ $1$ $0$ $\ldots $ $(1)$求这个二次函数表达式； $(2)$在平面直角坐标系中画出这个函数图象； $(3)$当$x$的取值范围为______时,$y \gt -3$.

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如图,直线$l:y=kx+b\left(k\neq 0\right)$与坐标轴分别交于点$A$,$B$,以$OA$为边在$y$轴的右侧作正方形$AOBC$,且$S_{\triangle AOB}=8$. $(1)$求直线$l$的解析式； $(2)$如图$1$,点$D$是$x$轴上一动点,点$E$在$AD$的右侧,$\angle ADE=90^{\circ}$,$AD=DE$. ①当$AE+CE$最小时,求$E$点的坐标； ②如图$2$,

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如图,在平面直角坐标系中,点$A\left(3,0\right)$,点$B\left(0,1\right)$,连接$AB$,将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$,连接$OC$,则线段$OC$的长度为（ ）

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二次函数$y=-2x^{2}+9$的对称轴为______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中自变量$x$的部分取值和对应的函数值$y$如表所示: $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $y$ $\ldots $ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ 下列说法中正确的个数有（ ） ①函数图象开口向上； ②函数图象与$y=-3$的交点坐标是$\left(0,-3\right)$、$\left(2,-3\right)$； ③当$x \gt 2$时,

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如图$1$,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,动点$P$以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度沿$A\rightarrow B\rightarrow D$的路径运动,动点$Q$以每秒$2$个单位长度的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow D$的路径运动,当点$Q$到达$D$点时,两者都停止运动.设运动时间为$t$秒,点$P$、$Q$的距离为$y$. $(1)$请直接写出$y$关于$t$的函

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若一个各个数位的数字均不为零的四位数$M$满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和,则称这个数为"间位等和数":将一个"间位等和数"的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作$A$,千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作$B$.令$F_{(M)}=\frac{A+B}{33}$.若四位数$M$的千位数字为$a$,百位数字为$b$,十位数字为$c$,个位数字为$d$.则$F_{(1573)}=$______,如果$F_{

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世界杯火热进行期间,其相关的周边产品大多为中国制造.为了抓住这一商机,两工厂决定生产球衣.据统计,甲厂每小时生产$600$件,乙厂每小时生产$800$件.甲、乙两厂共生产$16$小时,且每天生产的球衣总数量为$11400$件. $(1)$求甲、乙两厂每天分别生产多少小时? $(2)$由于球衣在国外热销,客户纷纷追加订单,两工厂每天均增加生产时间,其中甲厂比乙厂多增加$2$小时,在整个生产过程中,甲厂每小时产量不变,而乙厂由于机器损耗及人

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重庆因魔幻建筑被网友称为"$8D$魔幻城市",小成和小都打算$2025$年元旦分别从洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点选择一个景点一日游,小成和小都选择了同一个景点的概率为______.

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阅读材料,解答问题. 解方程:$\left(4x-1\right)^{2}-10\left(4x-1\right)+24=0$. 解:把$4x-1$视为一个整体,设$4x-1=y$, 则原方程可化为$y^{2}-10y+24=0$. 解得$y_{1}=6$,$y_{2}=4$. $\therefore 4x-1=6$或$4x-1=4$. $\therefore {x}_{1}=\frac{7}{4}$,${x}_{2}=\frac{5}

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