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如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在一条直线上$,FB=CE,AB$ ∥ $ED,AC$ ∥ $FD.$ $(1)$求证:$AC=DF$. $(2)$若$BC=9$,$FC=5$,求$BE$的长.

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如图,$AC\bot BD$于点$E$,连结$AB$,$CD$,$AB=10$,$BE=8$,点$P$在线段$AB$上运动时（不与$A$,$B$重合）,点$Q$在线段$AC$上,满足$CQ=\frac{6}{5}AP$,连结$PQ$.当$P$为$AB$中点时,$Q$恰好与点$E$重合. $(1)$求$AC$的长. $(2)$若$\angle C=\angle B$,$P$运动到$AB$中点时,求证:直线$PQ\bot CD$. $(3)

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下列式子中,是最简二次根式的是（ ）

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如果$x\leqslant 3$,那么$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}$的化简结果是（ ）

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下列二次根式中,属于最简二次根式的是（ ）

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已知实数$a$在数轴上的位置如图所示,则化简$|a+2|-|a-1|$的结果为（ ）

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阅读材料: 材料一:两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式. 例如:$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$,$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})=6-2=4$,我们称$\sqrt{3}$的一个有理化因式是$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}-\sqrt{2}$的一个有理化因式是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 材料二:如果一个代

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$\sqrt{5}-2$的一个有理化因式可以是______.

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我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图",它是由$4$个全等的直角三角形与$1$个小正方形拼成的一个大正方形,已知大正方形的面积为$25$,小正方形的面积为$3$. $(1)$如图$1$,若用$a$,$b$表示直角三角形的两条直角边$\left(a \lt b\right)$,$a+b=\_\_\_\_\_\_.$ $(2)$如图$2$,若拼成的大正方形为正方形$ABCD$,中间的小正方形为正方形$EFGH$,连接$AC

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青朱出入图（图$1)$是东汉末年数学家刘徽根据"割补术"运用数形关系证明勾股定理引入的图形,该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等,朱入与朱出的三角形全等,朱方与青方是两个正方形.为便于叙述,将其绘成图$2$,若记朱方对应正方形$GDJH$的边长为$a$,青方对应正方形$ABCD$的边长为$b$,已知$b-a=3$,$a^{2}+b^{2}=29$,则图$2$中的阴影部分面积为______.

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图$1$是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若$AC=6$,$BC=5$,将四个直角三角形中的边长为$6$的直角边分别向外延长一倍,得到图$2$所示的"数学风车",则这个风车的外围周长是（ ）

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"赵爽弦图"是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,在验明勾股定理,为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. $(1)$如图$1$,是小琪制作的一个"赵爽弦图"纸板. ①设$AH=a$,$BH=b$,$AB=c$,请你利用图$1$验证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$； ②若大正方形$ABCD$的边长为$13$,小

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综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数? 【活动操作】小明参照教材用$4$张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形$ABEFG$. 【探索新知】 $(1)$从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形$ABEFG$的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程. $(2)$如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a$、$b$、$c$是三个正整数,我们称$a$、$b$、$c$为勾股数.已知$m

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在"勾股定理"一章的学习中,我们体会到了勾股定理应用的广泛性,以及"数形结合"是解决数学问题的一种重要的思想方法. $(1)$【已有认识】$\sqrt{2}$既可以从算术平方根的角度理解,结合勾股定理的知识,也能将其看成是直角边都为$1$的直角三角形的斜边长,即$\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}$,由此得到在数轴上寻找$\sqrt{2}$所表示的点的方法,如图$1$. 【拓展运用】如图$2$,点$O$、点$A$在数轴上,且

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若函数$y=\left(k+3\right)x^{|k+2|}-5$是关于$x$的一次函数.则$k$的值是（ ）

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如果反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}k}{x}$的图象经过第一、三象限,那么$k$的取值范围是______.

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如果正比例函数$y=kx(k$是常数,$k\neq 0)$的图象经过点$\left(2,-3\right)$,那么$y$值随$x$值的增大而______$(填"增大"或"减小")$.

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反比例函数$y=\frac{1-m}{x}$图象经过$A(1$,$y_{1})$、$B(2$,$y_{2})$,且$y_{1} \gt y_{2}$,那么$m$的取值范围是______.

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已知实数$x$,$y$满足$\left(x-\sqrt{x^{2}-2008}\right)\left(y-\sqrt{y^{2}-2008}\right)=2008$,则$3x^{2}-2y^{2}+3x-3y-2007$的值为（ ）

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计算：公众号“做中学学中做” (1) $ 3\sqrt{5} + \sqrt{20} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{27} $; (2) $$ \left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)-\sqrt{8} $$

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