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如图,$BO$平分$\angle ABC$,$CO$平分$\angle ACB,MN$ ∥ $BC,AB=15,AC=18,$则$\triangle AMN$的周长为（ ）

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等腰三角形的两边长分别为$6$和$12$,则这个三角形的周长为（ ）

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已知:如图$BE\bot AC$于点$E$,$CD\bot AB$于点$D$且$BD=CE$.求证:$AF$平分$\angle BAC$.

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$,$E$为$AC$边上的点,连接$DE$,$DE=DB$,下列结论: ①$\angle DEA+\angle B=180^{\circ}$；②$AB-AC=CE$；③$AC=\frac{1}{2}(AB+CD)$；④$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{四边形ABDE}$,其中一定正确的结论

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如图,$\triangle ABC$的面积为$36$,$AB=AC=8$,点$D$为$BC$边上一点,过点$D$分别作$DE\bot AB$于$E$,$DF\bot AC$于$F$,若$DF=2DE$,则$DE$长为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$是边$AB$上一点,$BD=AC$,作$\angle ABE$,使$\angle ABE=\angle C$,且$BE=BC$,连接$DE$. $(1)$求证:$DE$ ∥ $AC$； $(2)$若$BC$平分$\angle ABE$,$\angle A=105^{\circ}$,求$\angle E$的度数.

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AC=20$,$BC=12$. $(1)$直接写出$AB$的长度______； $(2)$设点$P$在$AB$上,若$\angle PAC=\angle PCA$.求$AP$的长.

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle B=\angle C$,$BD=CF$,$BE=CD$,$\angle EDF=a$,则下列结论正确的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线交$AB$于$M$,交$AC$于$N$. $(1)$若$\angle ABC=70^{\circ}$,求$\angle MNA$的度数. $(2)$连接$NB$,若$AB=8cm$,$\triangle NBC$的周长是$14cm$.求$BC$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=105^{\circ}$,$AC$的垂直平分线$MN$交$BC$于点$N$,且$AB+BN=BC$,则$\angle B$的度数是______$^{\circ}.$

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如图,在$\triangle ABC$中,按以下步骤作图: ①以$B$为圆心,任意长为半径作弧,交$AB$于$D$,交$BC$于$E$； ②分别以$D$,$E$为圆心,以大于$\frac{1}{2}DE$的同样长为半径作弧,两弧交于点$M$； ③作射线$BM$交$AC$于$N$. 如果$BN=NC$,$\angle A=57^{\circ}$,那么$\angle ABN$的度数为______.

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在$\triangle ABC$中,$AC=BC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$D$、$E$分别为边$AB$、$AC$上的动点,且满足$AD=CE$,当$CD+BE$最小时,$\angle CDB$的度数为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=60^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,$CE$平分$\angle ACB$交$AB$于点$E$,$AD$、$CE$交于点$F$.则下列说法正确的个数为（ ） ①$\angle AFC=120^{\circ}$； ②$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$； ③若$CE\bot AB$,则$AB=

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=8$,$BC=6$,$\angle ABC$的平分线与$AC$相交于点$D$,$E$是线段$BD$的中点,连接$AE$,则线段$AE$的长度等于（ ）

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已知等腰三角形的两边长分别为$4$和$9$,则它的周长是______.

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如图①,等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$AC$上一动点,点$E$、$P$分别在$BD$延长线上,且$AB=AE$,$CP=EP$. 【问题思考】在图①中,求证:$\angle BPC=\angle BAC$； 【问题再探】若$\angle BAC=60^{\circ}$,如图②,探究线段$AP$、$BP$、$EP$之间的数量关系,并证明你的结论； 【问题拓展】若$\angle BAC=90^{\circ

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如图,在$\triangle ABC$与$\triangle DCB$中,$AC$与$BD$交于点$E$,且$\angle A=\angle D$,$\angle ABC=\angle DCB$. 求证:$\left(1\right)\triangle ABC$ ≌ $\triangle DCB$； $(2)BE=CE$.

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添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$BD$是高,$E$是$\triangle ABC$外一点,$BE=BA$,$\angle E=\angle C$,若$DE=\frac{2}{5}BD$,$AD=16$,$BD=20$,求$\triangle BDE$的面积,同学们可以先思考一下$\ldots $,小颖思考后认为可以这样添加辅助线

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如图,在$\triangle ABC$中,$BE$是$\angle ABC$的角平分线,$AD\bot BE$,垂足为$D$,求证:$\angle 2=\angle 1+\angle C$.

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一个等腰三角形的两边长分别为$3$,$6$,则等腰三角形周长的值可能是（ ）

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